2024年5月25日发(作者：)
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高考反函数问题常见类型解析
反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中占有
一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及
其解法。
一. 条件存在型
2
f(x)x2ax3
在区间
1，2
上存在反函数的充要条件是（ ） 例1.函数
A.
a，1
B.
a2，
C.
a
，1
2，
D.
a
1，2
2
f(x)x2ax3
不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区解析：因为二次函数
间
，a
或
a，
上是单调函数。而已知函数
f(x)
在区间［1，2］上存在反函数，所以
1，2
，a
或者
1，2
a，
，即
a1
或
a2
。故选（C）
点评：函数
yf(x)
在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一
映射。特别地：如果二次函数
yf(x)
在定义域内的单调函数，那么函数
f
（
x
）必存在反函
数；如果函数
f
（
x
）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，
那么函数
f
（
x
）在这个子区间上必存在反函数。
二. 式子求解型
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3
2
yx1(x0)
的反函数是（ ） 例2.函数
33
y(x1)(x1)y(x1)(x1)
A. B.
33
y(x1)(x0)y(x1)(x0)
C. D.
3
3
2
2
x(y1)
y1
yx1
x0
解析：由
x0
可得，故，从解得
3
33
x(y1)y(x1)(x1)
故选（B）因
x0
，所以即其反函数是。
点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，
不应该直接求反函数的定义域。
三.求定义域值域型
例3.若
f
1
(x)
为函数
f(x)lg(x1)
的反函数，则
f
－1
（
x
）的值域为_________。
1x
f(x)101
，解析：通法是先求出
f
（
x
）的反函数可求得
f
－1
（
x
）的值域为
(1，)
，
而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得
f
－1
（
x
）的值域为
(1，)
。
点评：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域
这一性质求解。
四.性质判断型
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