2024年5月17日发(作者：)

.

周期方形信号的傅里叶级数展开

提出问题：

用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。

设周期为1的方波信号由以下函数给出



x

1(

x

1且

x

0)



f

(x)



x

(

x

0且

x

1)

。



x

1(

x

1且

x

2)



利用Matlab软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情

况。

问题背景：

在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进

行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Matlab软件来模拟傅里叶级数

对于信号的逼近情况。

知识基础：

周期函数的傅里叶级数展开，Matlab软件

实验过程：

对于周期为

2



函数

f(t)

, 满足Dirichlet条件，则可展为傅里叶级数

1



a

n

f(t)cosntdt







1



b

n

f(t)sinntdt







经过傅里叶变换得到：

a

0



f(t)



(a

n

cosntb

n

sinnt).

2

n1



n0,1,2L

n1,2,3L





1







2



1

f

(

x

)







2



1







2



sin(2

k

(

x

1



1))



sin(2

kx

)

1





sin(2

k

(

x

1



1))

将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Matlab软件，编写程序如下：

clear;clc;x=linspace(-1,2,3000);

y=(x+1).*(x<0)+x.*(x>=0&x<1)+(x-1).*(x>=1&x<=2);

y1=0;

1 / 3'.

.

for k=1:10;

y1=y1+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x+1)).*(x<0);

end

y1=1/2-y1;

y2=0;

for k=1:50;

y2=y2+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*x).*(x>=0 & x<1);

end

y2=1/2-y2;y3=0;

for k=1:100;

y3=y3+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x-1)).*(x>=1&x<=2);

end

y3=1/2-y3;plot(x,y1)hold on plot(x,y2)

plot(x,y3)plot(x,y,'r') axis equal

此图当x属于(-1,0)时，傅里叶级数取了前10项

此图当x属于(0,1)时，傅里叶级数取了前50项

此图当x属于(1,2)时，傅里叶级数取了前100项

红线代表实际函数，蓝线代表傅里叶级数展开函数

拓展练习：

1. 可将周期

2



扩展为任意周期

T

,则此时方波信号的角频率



2



/T

，当方波信号

f(t)

满足Dirichlet条件时，则可展为傅里叶级数：

a

0



f(t)



(a

n

cosn



tb

n

sinn



t).

2

n1

a

0



2

T

f(t)dt



0

T

2 / 3'.

.

2

T

af(t)cosn



t dt

n

T

0

2

T

b

n

f(t)sinn



t dt。

0

T

从而该傅里叶级数展开形式可以更实际用于频谱分析。

2. 考虑周期矩形或周期锯齿形，及非周期信号的傅里叶级数展开

答：非周期信号可以利用傅里叶变换，傅里叶积分





f

(

t

)

F

(



)

1

2









F

(



)

e

it

d







f

(

t

)

e



it

d

知识点： 第12章第八节 一般周期函数的傅里叶级数

参考文献：

1. 王彦良，用有限项傅里叶级数三维趋近周期性方波信号，沈阳工程学院学报(自然科学版)， 2006，2，

187-189.

2. 汪逸新，方波信号的傅里叶分解实验，大学物理，1996，15， 30-32.

3. 宋复成，方波信号的傅里叶合成演示，徐州师范大学学报(自然科学版)，1998，16，30-32.

3 / 3'.