2024年5月9日发(作者：)

我们曾经指出为了便于二进制数和十进制数的转换，也为了在书

写时更加简便易读，二进制数经常要转换成8进制数和16进制数。

这里我们考查2进制数和8进制数之间的转换关系。

设有一个9位二进制数（k

8

k

7

k

6

k

5

k

4

k

3

k

2

k

1

k

0

）

2

，根据数制的定

义，我们知道：

（k

8

k

7

k

6

k

5

k

4

k

3

k

2

k

1

k

0

）

2

＝k

8

×2

8

＋k

7

×2

7

＋k

6

×2

6

＋k

5

×2

5

＋k

4

×2

4

＋

k

3

×2

3

＋k

2

×2

2

＋k

1

×2

1

＋k

0

×2

0

(式2-16)

式2－16可以进一步写成：

k

8

×2

8

＋k

7

×2

7

＋k

6

×2

6

＋k

5

×2

5

＋k

4

×2

4

＋k

3

×2

3

＋k

2

×2

2

＋k

1

×2

1

＋

k

0

×2

0

＝（k

8

×2

2

＋k

7

×2

1

＋k

6

×2

0

）×2

6

＋（k

5

×2

2

＋k

4

×2

1

＋k

3

×2

0

）×2

3

＋k

2

×2

2

＋k

1

×2

1

＋k

0

×2

0

＝（k

8

×2

2

＋k

7

×2

1

＋k

6

×2

0

）×8

2

＋（k

5

×2

2

＋k

4

×2

1

＋k

3

×2

0

）×8

1

＋（k

2

×2

2

＋k

1

×2

1

＋k

0

×2

0

）×8

0

(式2-17)

上面的式子中，k

8

×2

2

＋k

7

×2

1

＋k

6

×2

0

相当于(k

8

k

7

k

6

)

2

，假定

其等于十进制数h

2

；k

5

×2

2

＋k

4

×2

1

＋k

3

×2

0

相当于(k

5

k

4

k

3

)

2

，假定

其等于十进制数h

1

；k

2

×2

2

＋k

1

×2

1

＋k

0

×2

0

相当于(k

2

k

1

k

0

)

2

，假定

其等于十进制数h

0

。则式2－17可以改写为：

h

2

×8

2

＋h

1

×8

1

＋h

0

×8

0

(式2-18)

由于h

2

、h

1

、 h

0

是三位二进制数的值，因此，其值的范围在0～

7之间。根据数制的定义，我们惊奇地发现式2－18相当于（h

2

h

1

h

0

）

8

。这就是说：

（k

8

k

7

k

6

k

5

k

4

k

3

k

2

k

1

k

0

）

2

＝（h

2

h

1

h

0

）

8

(式2-19)

这里，h

2

＝(k

8

k

7

k

6

)

2

；h

1

＝(k

5

k

4

k

3

)

2

；h

0

＝(k

2

k

1

k

0

)

2

。

这就是说，我们只要把一个九位的二进数从低位开始三位一组，

分成三组，将这三组二进制数分别转换成10进制数，所得的三个数

就是该二进制数所对应的8进制数的码。这种关系可以一直往高位推

导，即不管二进制数有多少位我们都可以用这种方法把它转换成一个

8进制数。

例2－6：将二进制数（1）

2

转换为8进制数。

解：将二进制数三位一组分组，计算每组的值如下：

1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0

2 7 1 2

则：（1）

2

＝（2712）

8

需要注意的是，整数的分组是从最低位开始，向最高位延伸。如

果最高位的组不足三位，则在前面补0。另外，这种转换同样适用于

小数的转换。小数的分组，是从最高小数位开始，向低位延伸。如果

最低位的组不足3位，在后面补0。

例2－7：将二进制数（1.10101）

2

转换为8进制数。

解：将二进制数三位一组分组，计算每组的值如下：

1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 。1 0 1 0 1 0

2 7 1 2 。 5 2

则：（1.10101）

2

＝（2712.52）

8

仿照2进制转8进制数的推导方法，我们不难得到二进制数与

16进制数的转换方法（有关演算留作习题，这里从略）。具体来说就

是，将二进制数的整数和小数部分每四位分成一组。整数部分从最低

位向最高位顺序分组，如果最高位组不够4位，就在前面补0；小数

部分从最高位向最低位顺序分组，如果最低位组不够4位，在后面补

0。求出每一组4位二进制数的十进制值（在0～15之间），然后用

16进制符号表示，就得到了相应的16进制数。

例2－8：将二进制数（1.10101）

2

转换为16进制数。

解：将上述二进制数四位一组分组，计算每组的值如下：

0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 。1 0 1 0 1 0 0 0

5 12 10 。 10 8

则：（1.10101）

2

＝（5CA.A8）

16

上面将二进制数转换为8进制数和16进制数的规则，反过来也

可以用来将8进制和16进制数转换为2进制数。请看下面的例子。

例2－9：将8进制数（567.72）

8

转换为2进制数。

解：将上述八进制数的每一位分解成一个3位二进制数，最后得到就

是该8进制数对应的二进制数。具体计算如下：

5 6 7 . 7 2

1 0 1 1 1 0 1 1 1 . 1 1 1 0 1 0

则：（567.72）

8

＝（101110111.111010）

2

例2－10：将16进制数（9F.B6）

16

转换为2进制数。

解：将上述16进制数的每一位分解成一个4位二进制数，最后得到

就是该16进制数对应的二进制数。具体计算如下：

9 F . B 6

1 0 0 1 1 1 1 1 . 1 0 1 1 0 1 1 0

则：（9F.B6）

16

＝（10011111.1011011）

2

现在，作为练习，请检验例2－1到例2－5中同一个十进制数的2

进制与8进制、16进制之间的对应关系是否符合上面的转换规律。