2024年5月3日发(作者：)

matlab中求矩阵的迹函数

迹函数，也称为矩阵的迹，是指一个矩阵对角线上元素的和。在Matlab中，求矩阵的

迹函数通过trace函数实现。在本文中将介绍trace函数的使用方法及相关知识。

一、trace函数的用法

t = trace(A)

其中，A指矩阵，t指求得的矩阵的迹值。例如：

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

t = trace(A)

运行结果为：

t = 15

从结果可以看出，矩阵A的迹为15。

二、矩阵的迹

为了更好理解迹函数，先介绍矩阵的迹的概念。矩阵的迹是指一个矩阵的对角线上的

元素之和。例如，对于一个三阶方阵：

A = [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]

则矩阵A的迹为：

tr(A) = a11 + a22 + a33

对于一个n阶方阵，其迹为：

1. 求矩阵的迹

通过trace函数求矩阵A的迹，代码如下：

对于一个n阶方阵A，存在n个特征值λ1，λ2，...，λn，且这些特征值满足：

因此，可以通过求矩阵A的迹来求特征值之和。下面给出一个例子：

由于A是一个二阶方阵，因此A有两个特征值λ1和λ2。由于：

因此，可以得到：

接下来通过eig函数求解A的特征值：

[V,D] = eig(A)

其中，V是A的特征向量矩阵，D是A的特征值矩阵。运行结果为：

V =

-0.7071 0.7071

0.7071 0.7071

通过eig函数的输出可以得到A的两个特征值分别为3和-1。因此，A的特征值之和

为：

3. 利用迹函数求矩阵指数

对于一个n阶方阵A和一个标量t，矩阵exp(tA)可以通过矩阵的级数展开来计算：

exp(tA) = I + tA + (t^2/2!)A^2 + ... + (t^n/n!)A^n

其中，I指n阶单位矩阵。显然，计算exp(tA)的时间复杂度很高，特别是当矩阵的阶

数增大时。不过根据迹函数的定义，可以将矩阵A的迹表示为：

其中，λ1，λ2，...，λn分别是A的特征值。因此，可以得到：

exp(tA) = exp(t(λ1I + λ2I + ... + λnI)) = exp(tλ1)I + exp(tλ2)I + ... +

exp(tλn)I

A = [1 2; 2 1];

t = 1;

tA = t * A;

[V,D] = eig(A);

exp_tA = expm(tA)

其中，tA指标量t与矩阵A的乘积。expm函数用于计算矩阵的指数。运行结果为：

exp_tA =

可以自行计算得到exp(tλ1)和exp(tλ2)并将其带入exp(tA)的公式中，得到同样的

结果。

四、总结