2024年5月2日发(作者：)

§3.2 导数与函数的单调性、极值、最值

1．函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，

那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

2．函数的极值

(1)判断f(x

0

)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x

0

处连续时，

①如果在x

0

附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x

0

)是极大值；

②如果在x

0

附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x

0

)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)

在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)

在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如

下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( × )

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √ )

(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )

(4)对可导函数f(x)，f′(x

0

)＝0是x

0

点为极值点的充要条件．( × )

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ )

1

(6)函数f(x)＝xsin x有无数个极值点．( √ )

1．函数f(x)＝x

2

－2ln x的单调减区间是( )

A．(0,1) B．(1，＋∞)

C．(－∞，1) D．(－1,1)

答案 A

解析 ∵f′(x)＝2x－

2

2x＋1x－1

x

＝

x

(x>0)．

∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．

2．(2013·浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e

x

－1)(x－1)

k

(k＝1,2)，则( )

A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值

B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值

C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值

D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值

答案 C

解析 当k＝1时，f′(x)＝e

x

·x－1，f′(1)≠0，

∴x＝1不是f(x)的极值点．

当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe

x

＋e

x

－2)，

显然f′(1)＝0，且x在1附近的左边f′(x)<0，

x在1附近的右边f′(x)>0，

∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.

3．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(

A．(－1,1) B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

答案 B

解析 设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，

∵m′(x)＝f′(x)－2>0，

∴m(x)在R上是增函数．

2

)

∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，

∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，

即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．

ln xln x

2

ln x

2

4．设1

2

的大小关系是__________________．(用“<”连接)

xxx

ln x

2

ln xln x

2

答案 ()<<

2

xxx

解析 令f(x)＝x－ln x(1

1

x－1

则f′(x)＝1－＝

>0，

xx

∴函数y＝f(x)(1

ln x

∴f(x)>f(1)＝1>0，∴x>ln x>0⇒0<<1，

x

ln xln x

∴()

2

<.

xx

ln x

2

ln x

2ln x－xln x2－xln x

又

2

－＝＝

>0，

xxx

2

x

2

ln x

2

ln xln x

2

∴()<<

2

.

xxx

题型一 利用导数研究函数的单调性

例1 已知函数f(x)＝e

x

－ax－1.

(1)求f(x)的单调增区间；

(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明

理由．

思维点拨 函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．

解 f′(x)＝e

x

－a，

(1)若a≤0，则f′(x)＝e

x

－a≥0，

即f(x)在R上单调递增，

若a>0，令e

x

－a≥0，则e

x

≥a，x≥ln a.

因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，

3

当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．

(2)∵f′(x)＝e

x

－a≤0在(－2,3)上恒成立．

∴a≥e

x

在x∈(－2,3)上恒成立．

∴e

－

2

x

3

，只需a≥e

3

.

当a＝e

3

时，f′(x)＝e

x

－e

3

<0在x∈(－2,3)上恒成立，

即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e

3

.

故存在实数a≥e

3

，使f(x)在(－2,3)上为减函数．

思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；

(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；

(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间

上f′(x)不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

1

(1)设函数f(x)＝x

3

－(1＋a)x

2

＋4ax＋24a，其中常数a>1，则f(x)的单调减区间为

3

_____________________．

(2)已知a>0，函数f(x)＝x

3

－ax在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的取值范围是________．

答案 (1)(2,2a) (2)(0,3]

解析 (1)f′(x)＝x

2

－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，

由a>1知，当x<2时，f′(x)>0，

故f(x)在区间(－∞，2)上是增函数；

当2

故f(x)在区间(2,2a)上是减函数；

当x>2a时，f′(x)>0，

故f(x)在区间(2a，＋∞)上是增函数．

综上，当a>1时，

f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，

在区间(2,2a)上是减函数．

(2)∵f′(x)＝3x

2

－a，f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，

4

∴f′(x)≥0，∴a≤3x

2

，∴a≤3.

又a>0，可知0

题型二 利用导数求函数的极值

例2 (2014·福建)已知函数f(x)＝e

x

－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A

处的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值；

(2)证明：当x>0时，x

2

x

.

(1)解 由f(x)＝e

x

－ax，得f′(x)＝e

x

－a.

又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.

所以f(x)＝e

x

－2x，f′(x)＝e

x

－2.

令f′(x)＝0，得x＝ln 2.

当x

当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，

且极小值f(ln 2)＝e

ln 2

－2ln 2＝2－ln 4，

f(x)无极大值．

(2)证明 令g(x)＝e

x

－x

2

，则g′(x)＝e

x

－2x.

由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0.

故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，

因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x

2

x

.

思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定

要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．

(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间

上单调函数没有极值．

e

x

设f(x)＝，其中a为正实数．

1＋ax

2

4

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

3

5

(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

1＋ax

2

－2ax

解 对f(x)求导得f′(x)＝e·.①

1＋ax

2



2

x

4

(1)当a＝

时，若f′(x)＝0，则4x

2

－8x＋3＝0，

3

31

解得x

1

＝

，x

2

＝.结合①，可知

22

x

f′(x)

f(x)



－∞，

1



2



＋

1

2

0

极大值



1

，

3





22



－

3

2

0

极小值



3

，＋∞





2



＋

31

所以x

1

＝

是极小值点，x

2

＝

是极大值点．

22

(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax

2

－2ax＋1≥0

在R上恒成立，即Δ＝4a

2

－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0

为{a|0

题型三 利用导数求函数的最值

例3 (2014·四川改编)已知函数f(x)＝e

x

－ax

2

－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对

数的底数．

设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．

解 由f(x)＝e

x

－ax

2

－bx－1，

有g(x)＝f′(x)＝e

x

－2ax－b.

所以g′(x)＝e

x

－2a.

因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．

1

当a≤时，g′(x)≥0，

2

所以g(x)在[0,1]上单调递增，

因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；

e

当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，

2

因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；

6

1e

当

时，令g′(x)＝0得x＝ln(2a)∈(0,1)，

22

所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，

在区间[ln(2a)，1]上单调递增．

于是，g(x)在[0,1]上的最小值是

g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.

1

综上所述，当a≤时，g(x)在[0,1]上的最小值是

2

g(0)＝1－b；

1e

当

时，g(x)在[0,1]上的最小值是

22

g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；

e

当a≥时，g(x)在[0,1]上的最小值是

2

g(1)＝e－2a－b.

思维升华 (1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在(a，b)内所有使f′(x)＝0的点，再计

算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．

(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．

已知函数f(x)＝(x－k)e

x

.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

解 (1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e

x

.

令f′(x)＝0，得x＝k－1.

f(x)与f′(x)的情况如下：

x

f′(x)

f(x)

(－∞，k－1)

－

k－1

0

－e

k

－

1

(k－1，＋∞)

＋

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．

(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，

7

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；

当0

f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1,1]上单调递增，

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e

k

－

1

；

当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为

f(1)＝(1－k)e.

综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；

当1

f(k－1)＝－e

k

－

1

；

当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.

利用导数求函数的最值问题

典例：(12分)已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．

思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意

定义域．(2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含

有参数a，要对参数a进行分类讨论．

规范解答

1

解 (1)f′(x)＝

－a (x>0)，

x

1

①当a≤0时，f′(x)＝

－a>0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．[2分]

x

11

②当a>0时，令f′(x)＝

－a＝0，可得x＝，

xa

1－ax

1

当0

>0；

ax

8

1－ax

1

当x>时，f′(x)＝

<0，

ax

1

0，



， 故函数f(x)的单调递增区间为





a



1

，＋∞



.[4分] 单调递减区间为





a



1

(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－

a

2a.[5分]

11

②当≥2，即0

时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.[6

a2

分]

11

11

1，



上是增函数，在



，2



上是减函数．又f(2)－f(1)

③当1<<2，即





a



a



a2

＝ln 2－a，

1

所以当

2

当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.[10分]

综上可知，

当0

当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.[12分]

答题模板

用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用

以下几步答题

第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；

第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；

第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；

第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；

第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．

温馨提醒 (1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型．

(2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．

(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题．

9

方法与技巧

1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．

2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．

3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值

还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．

失误与防范

1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可

能．

2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．

3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点

和导数为0的点.

A组 专项基础训练

(时间：45分钟)

1．函数y＝(3－x

2

)e

x

的单调递增区间是( )

A．(－∞，0) B．(0，＋∞)

C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)

答案 D

解析 y′＝－2xe

x

＋(3－x

2

)e

x

＝e

x

(－x

2

－2x＋3)，

由y′>0⇒x

2

＋2x－3<0⇒－3

故函数y＝(3－x

2

)e

x

的单调递增区间是(－3,1)．

2.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为

( )

10

答案 C

解析 根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合f′(x)

＝0的点可以排除B.

3．设a∈R，若函数y＝e

x

＋ax有大于零的极值点，则( )

A．a<－1

1

C．a>－

e

答案 A

解析 ∵y＝e

x

＋ax，∴y′＝e

x

＋a.

∵函数y＝e

x

＋ax有大于零的极值点，

则方程y′＝e

x

＋a＝0有大于零的解，

∵x>0时，－e

x

<－1，∴a＝－e

x

<－1.

1

4．设函数f(x)＝x

2

－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )

2

A．1

C．a≤2

答案 A

19

解析 ∵f(x)＝x

2

－9ln x，∴f′(x)＝x－

(x>0)，

2x

9

当x－

≤0时，有0

x

∴a－1>0且a＋1≤3，解得1

5．已知函数f(x)＝－x

3

＋ax

2

－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最

小值是( )

A．－13

C．10

答案 A

解析 对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x

2

＋2ax，

由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，

B．－15

D．15

B．a≥4

D．0

B．a>－1

1

D．a<－

e

11

即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.

由此可得f(x)＝－x

3

＋3x

2

－4，f′(x)＝－3x

2

＋6x，

易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，

∴当m∈[－1,1]时，f(m)

min

＝f(0)＝－4.

又∵f′(x)＝－3x

2

＋6x的图象开口向下，

且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，

f′(n)

min

＝f′(－1)＝－9.

故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.

1

6．函数y＝x

2

－ln x的单调递减区间为________．

2

答案 (0,1]

2

1

x

－1

x－1x＋1

解析 y′＝x－

＝＝

(x>0)．

xxx

令y′≤0，得0

∴函数的单调递减区间为(0,1]．

x

3

2

7．函数f(x)＝＋x－3x－4在[0,2]上的最小值是________．

3

17

答案 －

3

解析 f′(x)＝x

2

＋2x－3，令f′(x)＝0，x∈[0,2]，

17

得x＝1.比较f(0)＝－4，f(1)＝－，

3

1017

f(2)＝－

，可知最小值为－

.

33

8．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围

是________．

答案 (－1,0)

解析 当a＝0时，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值．

当a≠0时，令f′(x)＝0，则x

1

＝－1，x

2

＝a.

若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)

2

≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当x∈(－1，a)时，f′(x)<0，

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，不符合题意；

12

若－10，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a

处取得极大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，－1)时，f′(x)>0，所以函

数f(x)在x＝a处取得极小值，不符合题意．所以a∈(－1,0)．

1

9．已知函数f(x)＝＋ln x，求函数f(x)的极值和单调区间．

x

11

x－1

解 因为f′(x)＝－

2

＋＝

2

，

xxx

令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x

f′(x)

f(x)

所以x＝1时，f(x)的极小值为1.

f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，

单调递减区间为(0,1)．

1

10．设函数f(x)＝x

2

＋e

x

－xe

x

.

2

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．

解 (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x＋e

x

－(e

x

＋xe

x

)＝x(1－e

x

)．

若x<0，则1－e

x

>0，∴f′(x)<0；

若x>0，则1－e

x

<0，∴f′(x)<0；

若x＝0，则f′(x)＝0.

∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，

即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．

(2)由(1)知f(x)在[－2,2]上单调递减，

∴[f(x)]

min

＝f(2)＝2－e

2

.

∴当m<2－e

2

时，不等式f(x)>m恒成立．

(0,1)

－

1

0

极小值

(1，＋∞)

＋

13

B组 专项能力提升

(时间：30分钟)

11．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e

x

·f(x)>e

x

＋1

的解集是( )

A．{x|x>0}

C．|x|x<－1或x>1|

答案 A

解析 构造函数g(x)＝e

x

·f(x)－e

x

－1，

求导得到g′(x)＝e

x

·f(x)＋e

x

·f′(x)－e

x

＝e

x

[f(x)＋f′(x)－1]．

由已知f(x)＋f′(x)>1，可得到g′(x)>0，

所以g(x)为R上的增函数；

又g(0)＝e

0

·f(0)－e

0

－1＝0，

所以e

x

·f(x)>e

x

＋1，

即g(x)>0的解集为{x|x>0}．

12．已知f(x)是可导的函数，且f′(x)

A．f(1)e

2 016

f(0)

B．f(1)>ef(0)，f(2 016)>e

2 016

f(0)

C．f(1)>ef(0)，f(2 016)

2 016

f(0)

D．f(1)

2 016

f(0)

答案 D

fx

解析 令g(x)＝

x

，

e

f′xe

x

－fxe

x

f′x－fx

fx

则g′(x)＝(

x

)′＝

＝

<0，

ee

2

x

e

x

fx

所以函数g(x)＝

x

是单调减函数，

e

所以g(1)

即

f1f0f2 016f0

<

，

2 016

<

，

e

1

1e1

B．{x|x<0}

D．{x|x<－1或0

故f(1)

2 016

f(0)．

13．已知f(x)＝x

3

－6x

2

＋9x－abc，a

①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.

14