2024年4月30日发(作者：)
数独（Sudoku）
数独（Sudoku），一种起源于日本、流行于欧美的数字游戏，虽然进入中国内地的时
间不久，但已经占据了很多媒体的游戏版面，吸引越来越多的玩家投身数字的迷宫。不过
数独爱好者们可能不知道，这个小游戏的雏形，却是一个让数学家伤透脑筋的问题。即使
在今天，还有众多研究人员为弄清楚数独背后的规律而绞尽脑汁。
即使是天使也会为数学问题苦思冥想。德国名画家丢勒的这幅木刻画《忧郁症》
（Melencolia）描述的就是一个因为数学患上忧郁症的天使。
让画中天使牵挂的就是墙上挂着的数字迷宫，横向、纵向、对角线数字的和都是34，
在最下面一行的中间两格，画家自娱地留下了创作年代1514.
1 欧拉与拉丁方
作为数学史上最传奇、最多产的大师之一，瑞士数学家欧拉（LeonardEuler，
1707—1783）在18世纪研究了一种有趣的数字方阵：考虑一个阶数（亦即行数和列数）
为n的方阵，在小格里填入n种符号或数字，在每一行/列中，每一个符号出现且仅出现一
次。这种方阵源自中世纪的格盘游戏，其求解过程可归结为“染色问题”———一个数学
中最古老的问题之一。因为最初随手填入方阵内的是一个个拉丁字母，欧拉将这样的方阵
命名为拉丁方（Latin Square）。拉丁方在实验设计、数据检验和幻方构造等领域应用极广。
很容易发现，数独其实正是一种特殊的拉丁方。惟一不同的是，数独加上了两个额外
的条件：一、在每个小九宫格的区域内，每个数字同样出现且只出现一次；二、给出的初
始数字必须对称。
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2 终盘的可能性
通常将一个完成了的数独题目称为终盘。在数独游戏风行后，人们很快便希望知道这
个游戏究竟存在多少个终盘形式。对此，德国数学家BertramFelgenhauer在2019年给
出了答案：数独的最大可能终盘数为6，670，903，752，021，072，936，960种。
Felgenhauer的算式为9！×722×27×27，704，267，971，最后的数字是一个大质
数。虽然这个天文数字已经足够惊人，但考虑到作为一种特殊限制的拉丁方，数独终盘的
可能性只是可能存在的九阶拉丁方数目的0.00012%！
另一个方面，考虑到数独游戏的初始数字对称要求，以上结果可能有相当程度的重复，
亦即其终盘结果会出现大量的雷同。据此，英国数学家FrazerJarvis和EdRussell给出了
更准确的不同终盘数：5，472，730，538.这样一来，有志于破解所有数独题目的玩家又
看到了希望的曙光，担心游戏被穷尽而没有游戏可玩的爱好者也不必焦虑：毕竟这个数目
和地球人口一样多。
3 最小初盘问题
与终盘相对应，一个数独游戏给出的初始条件称为初盘。由于规则所限，给出的初盘
数字个数必须在32以下。
一般常见的初盘数字个数在22—28之间，而数独爱好者们常问的一个问题是：最少
给出多少个数字，数独游戏才确保有惟一解？具体地说：最少需要在初盘中给出多少个数
字，使得移除其中任何一个数字该数独游戏便没有惟一解。
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