2024年4月30日发(作者：)

2023-2024学年上海市浦东新区高考数学冲刺模拟试题

（三模）

一、填空题

1.已知平面向量

【正确答案】1

【分析】利用向量平行充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值.





rr

【详解】由

a



m,1



，

b



2,2



，

a//b

，

可得

2m210

，解之得

m1

.

故1

2.

若复数



a



m,1



，



b



2,2



rr

，若

a//b

，则

m

___．



1i



ai



为纯虚数，则实数

a

______

．

【正确答案】

1

【分析】根据给定条件，利用复数的乘法运算结合复数的概念求解作答

.

【详解】复数



1i



ai



(a1)(1a)i

，

aR

，

依题意，





a



1



0

，解得

a1

，



1



a



0

所以实数

a1

.

故

1

3.已知抛物线

C

：

y

2

4x

上，则抛物

C

的准线方程为______.

【正确答案】

x=



1

．

【分析】

由抛物线方程，求出

p2

，可求准线方程

.

【详解】抛物线

C

：

y

2

4x

，所以

2p4,p2

，

准线方程为

x

故答案为

.

x=



1

4.

已知陈述句



：所有的

aA

满足性质

p

，则



的否定形式为

______

．

【正确答案】存在

aA

不满足性质p.

【分析】用全称量词命题的否定形式即得结果.

【详解】陈述句



是全称量词命题，故其否定形式是：

存在

aA

不满足性质

p.

故存在

aA

不满足性质

p.

p



1

，

2

5.在△ABC中，角A、B、C所对的边记作a、b、c．已知

A

则

BC

______

．

【正确答案】



π



π



π

b

sin





C





c

sin





B





a

，

，

4



4



4



π

##

90



2

【分析】由正弦定理边化为角，结合两角和与差的正弦公式即可求解

.

【详解】由

b

sin





π



π





C





c

sin





B





a

，应用正弦定理，



4



4





π



π



sin

B

sin



C



sin

C

sin



B

得





sin

A

，



4



4



即

sin

B

(

22222

，

sin

C

cos

C

)



sin

C

(sin

B

cos

B

)



22222

整理得：

sinBcosCcosBsinC1

，即

sin(BC)1

，

因为

0

B

故答案为.

π

3π3π

，

0

C

，所以

BC

.

2

44

π

2

6.北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉

卫星发射中心点火发射，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．现从报名的40位学生中利

用下面的随机数表抽取

10

位同学参加演讲比赛，将

40

位学生按

01

、

02

、



、

40

进行编号，

假设从随机数表第

1

行第

3

个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第

7个号码所对应的学生编号为______．

06274313

14109577

51245179

26361547

74246762

30142310

09412512

42811457

21182191

63176323

20425332

37263890

26168045

37322707

01400523

6011

3607

2617

【正确答案】25

【分析】利用随机数表法，按照给定条件依次选取符合要求的号码作答.

【详解】从随机数表第

1

行第

3

个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过

40

和重复的号

码，

选取的号码依次为：27，13，26，36，15，09，25，12，17，23，

所以选出来的第7个号码所对应的学生编号为25.

故25

7.

在

ABC

中，

∠

C90



，

B30



，



BAC

的平分线交

BC

于点

D

，若





AD



AB



AC





,



R



，则



______

．



【正确答案】

2

##

0.5

【分析】根据给定条件，探求出线段

CD

与

DB

的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答.

【详解】在

ABC

中，

∠

C90



，

B30



，则

BAC60



，又

AD

平分



BAC

，即有

1

CADDAB30



，



1



1



因此

BDAD2CD

，即有

CDDB

，

ADAC

(

ABAD

)

，整理得

22



1



2



ADABAC

，

33



12

而

AD



AB



AC

，且

AB,AC

不共线，于是





,





，

33

所以





2

.

故

1

2



1

8.

设有两个罐子，

A

罐中放有

2

个白球，

1

个黑球，

B

罐中放有

3

个白球，这些球的大小与质地

相同

.

现从这两个罐子中各摸

1

个球进行交换，那么这样交换

2

次后，黑球还在

A

罐中的概率为

___________.

【正确答案】

5

9

【分析】分两种情况，利用独立事件乘法公式计算，再相加即可.

【详解】分两种情况，若第一次交换时从A罐中拿到黑球，则第二次交换时从B罐中也拿到黑球，

其概率为



111



，

339

若第一次交换时从

A

罐中拿到的是白球，则第二次交换时，从

A

罐中拿到的仍然是白球，其概率

为

224



，

339

145



.

999

故这样交换2次后，黑球还在A罐中的概率为

故

5

9

9.

已知

f



x



2lgx1

，

g



x



2lgx3

，若

f



x



g



x



f



x



g



x



，则满足条件

的x的取值范围是______．



【正确答案】

0,10









1010,





【分析】由绝对值等式可知，

f



x



g



x



0

，代入函数后，即可求解不等式.

【详解】若满足条件

f



x



g



x



f



x



g



x



，当且仅当

f



x



g



x



0

，即



2lgx1



2lgx3



0

，即

lg

x

3

或

lg

x

1

，

22

解得：

x1010

或

0x10

.



故

0,10









1010,





10.

南宋的数学家杨辉

“

善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离

散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，

推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，

第三层放

6

个，第四层放

10

个



第

n

层放

a

n

个物体堆成的堆垛，则

111



______．

a

1

a

2

a

2022

【正确答案】

40442021

##

1

20232023

【分析】根据给定条件，求出数列

{

a

n

}

的递推关系，利用累加法求出通项

a

n

，再利用裂项相消法

求和作答

.

【详解】依题意，在数列

{

a

n

}

中，

a

1



1,

a

2



a

1



2,

a

3



a

2



3,



,

a

n



a

n



1



n

(

n



2)

，

当

n2

时，

a

n



a

1



(

a

2



a

1

)



(

a

3



a

2

)



(

a

n



a

n



1

)



1



2



3



n



满足上式，

n

(

n



1)

，

a

1

1

2

12111

n

(

n



1)



2(



){}

的前

n

项和为

S

n

，

因此

a

n



，，数列

a

n

n

(

n



1)

nn



1

a

n

2

则

S

n



2[(



)



(



)



(



)







(



所以

11

12

11

23

11

34

1

n

112

n

)]



2(1



)



，

n



1

n



1

n



1

1114044



S

2022



.

a

1

a

2

a

2022

2023

故

4044

2023

11.已知正方形ABCD的边长是1，将

ABC

沿对角线AC折到

V

AB



C

的位置，使（折叠后）A、

B



、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为______．

【正确答案】

3



1

2

π

，再根据边长求三棱锥

2

π

时，

2

【分析】首先确定三棱锥

B



ACD

体积最大时，二面角

B



ACD

为

的表面积.

【详解】在翻折过程中，三棱锥

B



ACD

的底面始终是

ACD

，故当二面角

B



ACD

为

三棱锥

B



ACD

的体积最大，

如图，取

AC

的中点

O

，连结

OD,OB



，由题意可知，

OB



AC

，

ODAC

，

则

B



OD90



，且

OB



OD

2

，所以

B



D1

，

2

133

,



1



1



224

所以

VAB



D

和

△B



CD

是边长为1的等边三角形，

S



AB



D



S



B



CD



11

V

AB



C

和

ACD

是

等腰直角三角形，

S



AB



C



S



ACD



1



1



22

所以三棱锥

B



ACD

的表面积为

2



313



2



1

.

422

故

3



1

2

12.若a、b为实数，且

ab

，函数

ysinx

在闭区间



a,b



上的最大值和最小值的差为1，则

ba

的取值范围是______．

【正确答案】



,π



3

【分析】讨论

a

的取值，结合三角函数的图象，即可求解.

【详解】（ⅰ）当函数

ysinx

在闭区间



a,b



内无最值，则函数

ysinx

在



a,b



内单调，



π







0



,

b





0,

不妨取



a

,

b







，



，可知

a





，

可知

sin



a





ππ





22





π



2









π





，

ysinx

在



a,b



内单调递增，

2







π



π





sin

a



cos

a



sin

a



2cos

a





，

2



4



π



ππ



π





2





π





0



，则

a





，



，则

cos



a









,1



，且

a





，



2444

42







所以

sin



a



可得

ba

①若

a





π



π



π





sin

a



2cos

a



1



sin

b



sin

a

sin

b



sin

a



，即



，

2



42



ππ

，即

ba

22

1



1



ππ

，

b

，则最大值和最小值的差为











1

，符合题意；

2



2



66

②若

a







则

sin



a





ππ



π



,





，

b





0,



，



26



2



π



31π





sin

a



cos

a



sin

a



cos

a





，

3



226







因为

a







π



π



π



ππ



,





，则

a







,0



，可得

cos



a







1

，

6



3



6



26







π



π





sin

a

sin

b



sin

a



，可得



，

3



3



故

sin

b



sin

a



1



sin



a



且

a



π



ππ



ππ



π









,



，

b





0,



，则

ba

，可得

ba

；

3



66



33



2



③若

a







则

sin



a





π



π



,0



，

b





0,



，



6



2



π



31π





sin

a



cos

a



sin

a



cos

a





，

3



226







因为

a







π



π



π



π



,0



，则

a





0,



，可得

cos



a







1

，

6



6



6



6







π



π





sin

a

sin

b



sin

a



，可得



，

3



3



故

sin

b



sin

a



1



sin



a



且

a



π



ππ



ππ



π







,



，

b





0,



，则

ba

，可得

ba

；

3



63



33



2



ππ

ba

；

32

综上所述：

（ⅱ）当函数

ysinx

在闭区间



a,b



内有最值，不妨取最大值

1

，最小值为

0

，

由图象可知：不妨取

a0

，当

bπ

时，

ba

取到最大值

π

；

当

b

可得

ππ

时，

ba

取到最小值

；

22

π

ba

π

；

2

综上所述：

ba

的取值范围是



,π



.

3

故答案为.



,π



3



π









π







方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数

解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形

结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误

的图象反而导致错误的选择．

二、选择题

13.

下列函数中，既是偶函数又在



0,





上单调递增的函数为（

A.

ycosx

【正确答案】

D

【分析】利用余弦函数的性质可判断A；由

yx1

的图象可判断B；举反例可判断

yxtanx

不满足在



0,





上单调递增可判断

C

；利用函数奇偶性和单调性的定义可判断

D

；进而可得正确

选项.

【详解】对于

A

：

ycosx

定义域是

R

，是偶函数，在



π2kπ,2kπ



kZ



上单调递增，在

B.

yx1

C.

yxtanx

）

D.

y



e

x



e



x



2kπ,π2kπ





kZ



上单调递减，故选项

A

不正确；

对于B：

yx1

的图象如图：

图象不关于

y

轴对称，不是偶函数，故选项

B

不正确；

对于C：

yxtanx

的

定义域为



x

|

x







π





k

π,

k



Z



关于原点对称，

2



f



x







x



tan



x



xtanxf



x



，所以

yxtanx

是偶函数，

当

xπ

时，

f



π



πtanπ=0

，当

x

由

π



ππ

π



π



π

时，

f





tan=

，

4

44



4



4

π



π



，

f



π





f



，所以

yxtanx

在



0,





不满足单调递增，故选项C不正确；

4



4





x

对于D：

y

e

x

e



x

的定义域是

R

，

f





x



e

x

1

e

x



f



x



，所以

y

e

x

e



x

是偶函数，任

1



x

2

1



x

1

x

2

e

x

2



e

x

1

取

x

1

x

2

0

，

f



x

1





f



x

2





e



x





e



x





e



e



x



x

e

1



e

2



e

12

1







e

x

1



e

x

2





1



x

1

x

2



e

1



x

1

x

2

x

1

x

2

xx0

1



0

，，因为

，所以

，，

e



e



0e



1



12

x

1

x

2

e



所以

f



x

1



f



x

2



0

即

f



x

1



f



x

2



，所以

y



e

x



e



x

在



0,





上单调递增，故选项

D

正

确；

故选：

D.

14.

设等差数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

．若

S

2

S

3

0

，则下列结论中正确的是（

A.

a

3

0

C.

a

2

a

3

0

【正确答案】D

【分析】根据

S

2

S

3

0

，可得

a

3

0

，

a

2

0

，从而可判断AB，举出反例即可判断C，根据

等差数列的性质结合基本不等式即可判断D.

【详解】解：因为

S

2

S

3

0

，

B.

a

2

a

1

0

D.

a

4



）

a

3

a

5

所以

S

3

S

2

a

3

0

，故A错误；

S

3

3a

2

0

，所以

a

2

0

，

则公差

da

3

a

2

a

2

a

1

0

，故B错误；

所以等差数列



a

n



为递增数列，

则

a

4

0,a

5

0

，

a

3

a

5

，

则

a

3

a

5

2a

3

a

5

，

所以

2a

4

a

3

a

5

2a

3

a

5

，

所以

a

4

a

3

a

5

，故D正确；

对于C，当

a

1

3,d2

时，

a

2

1,a

3

1

，

S

2

4S

3

30

。

此时

a

2

a

3

0

，故

C

错误

.

故选：D.

15.

如图所示，正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

E,F

分别为棱

AB,CC

1

的中点，则在平面

ADD

1

A

1

内与平面

D

1

EF

平行的直线

A.不存在

【正确答案】D

【分析】

B.有1条C.有2条D.有无数条

根据已知可得平面

ADD

1

A

1

与平

D

1

EF

交，两平面必有唯一的交线

l

，则在平面

ADD

1

A

1

内与交线

l

平行的直线都与平面

D

1

EF

平行，即可得出结论

.

【详解】平面

ADD

1

A

1

与平面

D

1

EF

有公共点

D

1

，

由公理3知平面

ADD

1

A

1

与平面

D

1

EF

必有过

D

1

的交线

l

，

在平面

ADD

1

A

1

内与

l

平行的直线有无数条，

且它们都不在平面

D

1

EF

内，

由线面平行的判定定理可知它们都与平面

D

1

EF

平行

.