2024年4月30日发(作者：)

随机序列的统计检验之卡方检验

随机数序列的统计检验之χ

2

检验

论文摘要：

本文主要介绍了随机数序列的一种统计检验方法-—卡方检验(



2

检验）.文章对随机数的定

义以及随机数序列的分类进行了说明介绍，并介绍了两种应用最为广泛的



2

拟合优度检验法。

进一步地介绍了



2

检验在农业及医学方面的应用，并客观评价了



2

检验方法的优劣性。

引言 关于随机数的研究,从很早以前就有.以前对于随机数的产生基本都是一些比较古老

的方法，例如古人喝酒时玩的掷骰子的游戏，其实就是一个产生随机数的过程。直到现在,仍然

有很多统计学者,在前人的基础上发展创新，致力于随机数的产生及检验的研究。在当下，随机

数的应用范围更为广泛，不仅是类似于古人掷骰子的购买彩票的研究，更是广泛地应用到医学、

农业等各个领域。并且随着计算机的应用与发展，计算机模拟的技术也逐步被深入研究和广泛

应用。利用计算机来产生随机数已经成为一个新的课题。相比于之前,计算机产生的随机数在均

匀性和随机性方面都更好,且模拟处理的问题更为广泛.随着随机数应用范围的扩大，对于随机

数的均匀性、独立性、随机性等的检验也不可或缺，只有通过了检验的随机数才能有更广大的

2



利用空间。本文介绍的就是随机数序列统计检验的其中一种方法——检验。

（一） 随机序列的定义及分类

2

[2］



在介绍随机数序列的检验之前，在这里先介绍一下随机数序列的定义和分类.

在连续型随机变量的分布中,最简单而且最基本的分布是单位均匀分布。由该分布抽取的简

单子样称随机数序列,其中每一个体称为随机数。其分布密度函数为:



1,0x1

f(x)



0,其他



分布函数为 ：



0,



(x)



x,F



1,



x0

0x1

x1

随机序列的统计检验之卡方检验

随机数列可以分为三种不同的类型：真随机数列，准随机数列，伪随机数列。

真随机数数列是不可预计的，所以不可能重复产生两个相同的真随机数数列.真随机数只能

用某些随机物理过程来产生，如放射性衰变等。

准随机数序列并不具有随机性质,仅仅是它用来处理问题时能够得到正确结果。准随机数的

概念是来自如下的事实：对伪随机数来说，要实现其严格数学意义上的随机性，在理论上是不

可能的，在实际应用中也没有这个必要。关键是要保证“随机”数数列具有能产生出所需要的

结果的必要特性。

伪随机数序列是我们通常在实际应用的，是通过某些数学公式计算而产生的。这样的伪随

机数从数学意义上讲已经一点不是随机的了。但是,只要伪随机数能够通过随机数的一系列的统

计检验，我们就可以把它当作真随机数而放心地使用。这样我们就可以很经济地、重复地产生

出随机数。

（二）χ

2

拟合优度检验法

χ

2

检验的方法中,最简单也用得最为广泛的是χ

2

拟合优度检验法

[1］

。该方法可分为两种类型

进行讨论：

1.多项分布的χ

2

检验

设总体X是仅取

k

个可能值的离散型随机变量，设X的可能值为1,2，…，k，且

P(Xi)p

i

,i1,2,...,k,



p

i

1

i1

k

.又设

(X

1

,X

2

,...X

n

)

是从总体X抽得的简单随机样本；NI表示样本

观察值中取值为

i

的个数，即样本中出现事件

(Xi)

的频数。

2

（N

i

-np

i

）(np

i

)

规定的检验统计量 定理1 当

H

0

:p

i

p

i

,i1,2,...,k(p

i

已知)

成立时，按



=



2

00

k

i1

L







2

(k1),n

.

2

则由定理1知,对给定的检验水平



,可以取临界值





2

(k1)

，当

随机序列的统计检验之卡方检验

2



=



（N

i

-np

i

）(np

i

)





2

(k1)

时拒绝H

0

.

2

i1

k

2。分布中含有未知参数的χ检验

在实际问题中,更常见的一类问题是要检验总体分布是否具有确定的类型,即检验假设

H

0

:F(x)F

0

(x;



1,



2

,...,



m

),



1,



2

,...,



m



2

其中函数

F

0

的形式已知，参数空间



也已知。

把实轴划分成

k

个互不相交的区间

A

1

(,a

1

],A

2

(a

1

,a

2

],...,A

k

(a

k1

,),a

1

,a

2

,...,a

k

是视具体

情况选取的

k1

个实数，且记

ˆ

,...,



ˆ

)

F

(

a

;



ˆˆ

ˆ

i

F

0

(

a

i

;



p

1m0i11

,...,



m

)

，

i2,3,...,k1

用

N

i

表示样本

X

1,

X

2,

,...,X

n

中落在

A

i

内的个数。

2

ˆ





ˆ

i

）

ˆ

i

)

给出的检验统计量

（N

i

-np

(

np

定理2 若假设

H

0

成立，则按式



2

i1

k

L

2

ˆ

n

2









(

km

1)

。

n

ˆ

2







2

(km1)

时拒绝假设则按定理2知对给定的检验水平



,取临界值





2

(km1)

，当



H

0

，反之接受假设

H

0

。

这里需要注意的是χ

2

拟合优度检验法是在

n

充分大时推导出来的，所以在使用是必须注意

n

要足够的大，以及

np

i

不太小这两个条件.我们一般的要求是

n

不小于50,并且每个

np

i

都不小于5

（最好是大于10）。

对于随机数的χ检验，只用把

p

i

p{cxd}



1dx

带入公式即可。

c

2

d

（三）卡方检验的应用及评价

关于随机数序列代表的实际意义，使用卡方检验的方法，在实际生活中有相当广泛的应用，

这里介绍的，是使用EXCEL软件建立卡方检验的一些应用，包括在农业统计

［3]

和临床数据分析

[4]

等方面。而Microsoft Excel软件具有易学、易用、易懂的特性，并且还提供了很多基本和经

典的统计分析方法。可通过添加“分析工具库”后利用“工具”菜单的“数据分析"功能来实现，

随机序列的统计检验之卡方检验

但没有提供现成的卡方检验。在农业统计的遗传学分析中,常用



2

来检验所得实际结果是否与孟

德尔遗传的分离比例相符，如检测其与某种理论比例的适合性，其



2

值可以直接用如下简式求

出,见表1。

表1 检验两组资料与某种理论比例符合度的



2

值公式

理论比例（显性:隐形）



2

公式

1:1

((|Aa|)1)

2

/n

2：1

((|A2a|)1.5)

2

/2n

3：1

((|A3a|)2)

2

/3n

15：1

((|A15a|)8)

2

/15n

9：7

((|7A9a|)8)

2

/63n

13：3

((|3A13a|)8)

2

/63n

r：1

[(|Ara|)(r1)/2]

2

/rn

在农业统计中，



2

检验还可用于独立性检验.例如研究小麦种子灭菌和麦穗发病两个变数之间是

否独立。若相互独立，表示种子灭菌和发病高低无关，灭菌处理对发病无影响;若不相互独立，

则表示种子灭菌和发病高低有关，灭菌处理对发病有影响。这主要是采用

RC

表进行独立性检

验计算.常用的有2x2表、2x3表和3x3表等，在这里就不做介绍了。

而



2

检验在临床数据分析方面，只需在四格表内填入数字即可，操作方便快捷，可直接给

2



出检验的统计量和P值。

虽然随机序列的卡方检验具有很广泛的应用，但是其依然具有片面性

［5］

。那是因为现有随

机性检测规范没有系统地讨论统计检验和随机本质的联系, 也没有严格论证样本量和结论可信

度的联系，使其可操作性不强,难以指导实际的安全性评估工作,甚至有可能误导实际的测试工

作。所以我们还有待对卡方检验进行改进

［6］

。

在随机数的卡方检验的广泛应用上,可以看出来数理统计知识内容在生活和生产中都有着

随机序列的统计检验之卡方检验

极其广泛而重要的应用.而关于卡方检验,其实关于它的所有知识内容都是起步于对卡方分布的

定义。所以说，数学知识的内容都可以由浅入深逐步扩展,有待我们所有的学者去探索和发展，

不要止步于前人的经验和理论，探索无极限。

参 考 文 献

[1]

朱燕堂，赵选民，徐伟．概率论与数理统计．西安：西北工业大学出版社,1997。8：140—142

[2]

张咏．随机数发生器和随机数检验性能研究．电子科技大学，2006。1：11—15

[3]

谭永强,余华强，陈桥生，刘莹．利用EXCEL软件建立卡方检验分析模版在农业统计中的作用．湖北农

业科学，49卷12期 ，2010.12：

[4]

冯松，郑斌．利用EXCEL进行卡方检验为临床数据分析提供支持， 2011。9

[5]

石竑松，张翀斌，杨永生，高金萍．随机性检测及其片面性．清华大学学报（自然科学版)，51卷10

期，2011

[6]

DAI Jia Jia,YANG Ai JunA．Modified Chi—Squared Goodness—of—Fit Test．College of Appilied

Sciences，Vol.29，No.1,2009.1