2024年4月28日发(作者：)

函数定义域的求法

作者： 刘铁峰 (高中数学 赤峰数学一班 ) 评论数/浏览数： 1 / 37 发表日期：

2011-07-08 16:32:19

性质及其应用

函数的性质及其应用是高考数学的重点和热点．熟练掌握函数的性质，能灵活运用函

数的性质解决有关问题，是高考数学获胜的一个重要方面 ．因此，临考前对函数的性质及

应用作适当的复习和思路整理是有必要的．

一、 函数的定义域及求法

1、 分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；

2、 对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；

3、 正切函数：x ≠ kπ + π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠ kπ ,k∈Z ；

4、 一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；

5、 定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法；

6、 复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．

[例题]：

1

1、 求下列函数的定义域

3、已知函数y=lg(mx

2

-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．

[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论]

当m=0时，则mx

2

-4mx+m+3=3，→ 原函数的定义域为R；

当m≠0时，则 mx

2

-4mx+m+3＞0，

2

①m＜0时，显然原函数定义域不为R；

②m＞0，且△＝(-4m)

2

-4m(m+3)<0 时，即０＜m＜１，原函数定义域为R，

所以当m∈[0,1) 时，原函数定义域为R．

4、求函数y=log

2

x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域．

[解析]：［求原函数的值域］

由题意可知，即求原函数的值域，

∵x≥4, ∴log

2

x≥2 ∴y≥3

所以函数y=log

2

x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)．

5、 函数f(2

x

)的定义域是[-1，1]，求f(log

2

x)的定义域．

[解析]：由题意可知2

-1

≤2

x

≤2

1

→ f(x)定义域为[1/2，2]

→ 1/2≤log

2

x≤2 → √￣2≤x≤4．

所以f(log

2

x)的定义域是[√￣2,4]．

二、 函数的值域及求法

3

1、 一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；

2、 二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时，y≤-△/4a ；

3、 反比例函数的值域：y≠0 ；

4、 指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；

5、 正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R；

6、 值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；

换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．

[例题]：：求下列函数的值域

[解析]：

1、[利用求反函数的定义域求值域]

先求其反函数：f

-1

(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x≠2，

4

由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2}

2、[利用反比例函数的值域不等于0]

由题意可得，

因此，原函数的值域为[1/2,+∞)

4、[利用分离变量法和换元法]

设法2

x

＝t，其中t＞0，则原函数可化为y=(t+1)/(t-1) → t=(y+1)/(y-1)

∴y>1或y<-1

5、[利用零点讨论法]

5

＞０

由题意可知函数有3个零点-3，1，2，

①当x<-3 时，y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x ∴y>9

②当-3≤x<1 时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 ∴5

③当1≤x<2 时，y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4 ∴5≤y<6

④当x ≥2时，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x ∴y≥6

综合前面四种情况可得，原函数的值域是[5,+∞)

6、[利用函数的有界性]

6

三、 函数的单调性及应用

1、 A为函数f(x)定义域内某一区间，

2、 单调性的判定：作差f(x

1

)-f(x

2

)判定；根据函数图象判定；

3、 复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x)) 为增函数，f(x),g(x)一

增、一减，f(g(x)) 为减函数．

[例题]：

7

2、设a＞0且a≠1，试求函数y=log

a

(4+3x-x

2

)的单调递增区间．

[解析]：[利用复合函数的单调性的判定]

由题意可得原函数的定义域是（－１，４），

设u=4+3x-x

2

，其对称轴是 x=3/2 ，

所以函数u=4+3x-x

2

，在区间（－１，3/2 ]上单调递增；在区间[3/2 ，4）上单调

递减．

①a＞１时，y=log

a

u 在其定义域内为增函数，由 x↑→u↑→y↑ ，得函数u=4+3x-x

2

8

的单调递增区间（－１，3/2 ]，即为函数y=log

a

(4+3x-x

2

) 的单调递增区间．

②０＜a＜１时，y=log

a

u 在其定义域内为减函数，由 x↑→u↓→y↑ ，得函数

u=4+3x-x

2

的单调递减区间[3/2 ，4），即为函数y=log

a

(4+3x-x

2

)的单调递增区间．

3、已知y=log

a

(2-ax) 在[0，1]上是x 的减函数，求a的取值范围。

[解析]：[利用复合函数的单调性的判定]

由题意可知，a＞０．设u＝g(x)=2－ax，则g(x)在［０，１］上是减函数，且x=１

时，

g(x)有最小值u

min

=2-a ．

又因为u＝g(x)＝2－ax＞０，所以， 只要 u

min

=2-a＞０则可，得a＜２．

又y=log

a

(2-ax) 在[0，1]上是x 减函数，u＝g(x)在［０，１］上是减函数，

即x↑→u↓→y↓ ，所以y=log

a

u是增函数，故a＞１．

综上所述，得１＜a＜2．

４、已知f(x)的定义域为（０，＋∞），且在其上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，

试解不等式f(x)+f(x-2)<3 ．

［解析］：［此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值］

9

由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ，3=2+1=f(4)+f(2)=f(4×2)=f(8)

又f(x)+f(x-2)=f(x

2

-2x)

所以原不等式可化成f(x

2

-2x)

所以原不等式的解集为｛x|2

四、函数的奇偶性及应用

1、 函数f(x)的定义域为D，x∈D ，f(-x)=f(x) → f(x)是偶函数；f(-x)=-f(x)→是奇函

数

2、 奇偶性的判定：作和差f(-x)± f(x)=0 判定；作商f(x)/f(-x)= ±1,f(x)≠0 判定

3、 奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称；

4、 函数的图象关于原点对称 奇函数；

函数的图象关y轴对称 偶函数

5、 函数既为奇函数又为偶函数 f(x)=0,且定义域关于原点对称;

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6、 复合函数的奇偶性：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．

[例题]：

[解析]：①[利用作和差判断]

由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数，

即，f(x) = -f(x) ，∴原函数是奇函数．

②［利用作商法判断］

由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数，

11

（２）∵f(x) 的图象关于直线x=1对称，

12

∴ f[1-(1-x)]＝f[1+(1-x)] ，x∈R ， 即f(x) ＝f(2-x) ，

又∵ f(x)在R上为偶函数，→ f(-x)＝f(x)＝f(2-x)＝f(2+x)

∴ f(x)是周期的函数，且2是它的一个周期．

五、 函数的周期性及应用

1、设函数y=f(x)的定义域为D，x∈D,存在非0常数T，有f(x+T)=f(x) →

f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期；

2、 正弦、余弦函数的最小正周期为2π，函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的

最小正周期是T = 2π/|ω| ；

3、 正切、余切函数的最小正周期为π，函数y=Atan(ωx+φ)和y=Acot(ωx+φ)的周

期是T=π/|ω| ；

4、 周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法；

5、 一般地，sinωx 和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanωx 和cotωx

类函数加绝对值或平方后周期不变（如：y=|cos2x| 的周期是π/2 ，y=|cotx|的周期是π．

[例题]：

1、 求函数 y = |sinx|+|cosx|的最小正周期．

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[解析]：[利用周期函数的定义]

y = |sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|

=|cos(x + π/2)|+|sin(x + π/2)|

即对于定义域内的每一个x，当x增加到(x + π/2)时，函数值重复出现，因此函数的

最小正周期是π/2 ．

3、 求函数y=sin3x+tan(2x/5) 的最小正周期．

[解析]：[最小公倍数法和公式法]，

（设f(x)、g(x) 是定义在公共集合上的两上三角周期函数，T

1

、、T

2

分别是它们的周

期，且T

1

≠T

2

，则f(x)± g(x) 的最小正周期等于T

1

、、T

2

的最小公倍数．）

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（注：分数的最小公倍数 = 分子的最小公倍数/分母的最大公约数）．

由题意可知，sin3x的周期是T

1

= 2π/3，tan(2x/5)的周期是T

2

=5π/2，

∴原函数的周期是T=10π/1 =10π ．

4、 求函数y=|tanx|的最小正周期．

[解析]：[利用函数的图象求函数的周期]

函数y=|tanx|的简图如图：

由函数y=|tanx|的简图可知，

其最小正周期是π．

5、设f(x)是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x,求f(7.5)

［解析］：[利用周期函数的定义]

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由题意可知，f(2+x) = f(x)

∴ f(7.5) ＝f(8-0.5) ＝f(-0.5) ＝－f(0.5) ＝－０.５

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