2024年4月28日发(作者：)

指数函数

1．指数函数的定义：

函数

ya

x

(a0且a1)

叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R

2.指数函数的图象和性质：



1



1



在同一坐标系中分别作出函数y=

2

，y=



，y=

10

x

，y=



的图象.



2



10



x

xx



1



我们观察y=

2

，y=



，y=

10

x

，y=



2



x

x



1





图象特征，就可以得到



10



x

ya

x

(a0且a1)

的图象和性质。

图

象

a>1 0

0

0

性

质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数

指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的

题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此

部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比较大小

例1 已知函数

f(x)x

2

bxc

满足

f(1x)f(1x)

，且

f(0)3

，则

f(b

x

)

与

f(c

x

)

的大小关系是_____．

分析：先求

b，c

的值再比较大小，要注意

b

x

，c

x

的取值是否在同一单调区间

内．

解：∵

f(1x)f(1x)

，

∴函数

f(x)

的对称轴是

x1

．

故

b2

，又

f(0)3

，∴

c3

．

1



上递减，在



1，∞



上递增． ∴函数

f(x)

在



∞，

若

x

≥

0

，则

3

x

≥

2

x

≥

1

，∴

f(3

x

)

≥

f(2

x

)

；

若

x0

，则

3

x

2

x

1

，∴

f(3

x

)f(2

x

)

．

综上可得

f(3

x

)

≥

f(2

x

)

，即

f(c

x

)

≥

f(b

x

)

．

评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中

间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．

2．求解有关指数不等式

例2 已知

(a

2

2a5)

3x

(a

2

2a5)

1x

，则x的取值范围是___________．

分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．

解：∵

a

2

2a5(a1)

2

4

≥

41

，

∴函数

y(a

2

2a5)

x

在

(∞，∞)

上是增函数，



∴

3x1x

，解得

x

．∴x的取值范围是



∞



．



，



1

4

1



4

评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的

指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．

3．求定义域及值域问题

例3 求函数

y16

x2

的定义域和值域．

解：由题意可得

16

x2

≥

0

，即

6

x2

≤

1

，

2



． ∴

x2

≤

0

，故

x

≤

2

． ∴函数

f(x)

的定义域是



∞，

令

t6

x2

，则

y1t

，

又∵

x

≤

2

，∴

x2

≤

0

． ∴

06

x2

≤

1

，即

0t

≤

1

．

∴

0

≤

1t1

，即

0

≤

y1

．