2024年4月28日发(作者：)
求值域方法
常用求值域方法
（1）、
直接观察法
：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
y
例1、求函数
1
,x[1,2]
x
的值域。
例2、 求函数
y3x
的值域。
【同步练习1】函数
y
（2）、
配方法：
二次函数或可转化为形如
F(x)a[f(x)]bf(x)c
类的函数的值域问题，均可用配方
法，而后一情况要注意
f(x)
的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2
yx2x5,xR
的值域。 例1、求函数
1
2x
2
的值域.
2
2
例2、求函数
yx2x5,x[1,2]
的值域。
例3、求
y2
log
2
2x
6log
2
x62
log
2
x2
2
。（配方法、换元法）
22
2
例4、设
0≤x≤2
，求函数
f(x)43g
例5、求函数
y2x3
xx1
1
的值域．
4x13
的值域。（配方法、换元法）
例6、求函数
y2x
2
4x
的值域。（配方法）
【同步练习2】
1、求二次函数
yx4x2
（
x
1,4
）的值域.
2
2、求函数
ye
3、求函数
y4
x
2
4x3
x
的值域.
2
x
1,x[3,2]
的最大值与最小值.
4、求函数
ylog
2
xx
log
2
(x[1,8])
的最大值和最小值.
24
x
1
2
5、已知
x
0,2
，求函数
f(x)432
x
5
的值域.
6、若
x2y4,x0,y0
,试求
lgxlgy
的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来
代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题
方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求
得原函数的值域．
例1、求
f(x)x1x
的值域．
【同步练习3】求函数
yx12x
的值域。
例2、求函数
yx1x
2
x
2
的值域。
2
【同步练习4】求函数
yx45x
的值域。
【同步练习5】
1、求函数
yx12x
的值域.
2
yx21(x1)
2、求函数的值域。
3、已知函数
f(x)
的值域为
3
,
5
，求函数
yf(x)12f(x)
的值域.
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（4）、函数有界性法（方程法）
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例1、
求函数
y
例2、求函数
y
sinx3
的值域。
sinx3
3sinx1
的值域。
2cosx3
e
x
1
2sin
12sin
1
y
x
yy
e1
，
1sin
，
1cos
的值域. 【同步练习6】求函数
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