2024年4月28日发(作者：)

常用泰勒展开式

P(x)=f(x_{0})+f^{(1)}(x_{0})(x-

x_{0})+frac{f^{(2)}(x_{0})(x-

x_{0})^{2}}{2!}+...+frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}+...

麦克劳林展开：

P(x)=f(0)+f^{(1)}(0)x+frac{f^{(2)}(0)x^{2}}{2!}+...+frac{f

^{(n)}(0)x^{n}}{n!}+...

常见函数的泰勒展开(麦克劳林展开)：

1、指数函数

e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+...+frac{x^n}{n!}+...

a^x=e^{xlna}=1+xlna+frac{(xlna)^2}{2!}+...+frac{(xlna)^n}{

n!}+...

2、（反）三角函数

sin(x)=x-frac{1}{3!}x^3+frac{1}{5!}+frac{(-

1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}+...

cos(x)=1-frac{1}{2!}x^2+frac{1}{4!}+frac{(-

1)^{n}}{2n!}x^{2n}+...

tan(x)=x+frac{x^3}{3}+frac{2x^5}{15}+frac{17x^7}{315}+...

arctan(x)=x-frac{1}{3}x^3+frac{1}{5}+frac{(-

1)^n}{2n+1}x^{2n+1}+...

3、双曲三角

sinh(x)=x+frac{1}{3!}x^3+frac{1}{5!}x^5+...+frac{1}{(2n+1

)!}x^{2n+1}+...

cosh(x)=1+frac{1}{2!}x^2+frac{1}{4!}x^4+...+frac{1}{2n!}x

^{2n}+...

tanh(x)=x-frac{x^3}{3}+frac{2x^5}{15}-frac{17x^7}{315}+...

4、对数函数

ln(1+x)=x-frac{1}{2}x^2+frac{1}{3}+frac{(-

1)^{n+1}}{n}x^n+...(-1

ln(x)=(x-1)-frac{1}{2}(x-1)^2+frac{1}{3}(x-1)^3-

...+frac{(-1)^{n+1}}{n}(x-1)^n+...(0

ln(frac{1+x}{1-

x})=2(x+frac{x^3}{3}+frac{x^5}{5}+...+frac{x^n}{n}+...)(-

1

姑且先写到这，以后再补充.