2024年4月28日发(作者：)

博学笃行 自强不息

常见泰勒公式展开式

引言：

泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它用来近似求解函数在某个

点附近的值。泰勒公式在工程、物理学和应用数学中有广泛的应用。

本文将介绍泰勒公式的定义，并列举一些常见的泰勒展开式，以帮

助读者更好地理解和应用该公式。

一、泰勒公式的定义

泰勒公式是由17世纪的数学家布鲁诺·泰勒（Brook Taylor）提出

的。它是一个用无限多个项表示的函数展开式，能够将一个光滑的

函数在某个点附近用多项式来逼近。泰勒公式的一般形式如下：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a) (x-a)^2/2! + f'''(a) (x-a)^3/3! + ...

其中，f(x) 是一个函数，a 是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a) 分别是函

数在展开点处的一阶、二阶、三阶导数。展开式中的每一项都可以

用导数来表示，通过不断展开，可以得到一个函数在某个点附近的

多项式逼近。

二、常见泰勒展开式

1. 正弦函数的泰勒展开式

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正弦函数的泰勒展开式是一个非常有用的数学工具，特别是在物理

学和工程学中的振动分析中经常被使用。正弦函数的泰勒展开的一

般形式如下：

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

该展开式是一个无限级数，将正弦函数在展开点 x=0 处的附近展开，

每一项的系数是根据奇数阶的阶乘来计算的。通过截断展开式，我

们可以得到正弦函数在附近点的近似值。

2. 余弦函数的泰勒展开式

余弦函数的泰勒展开式也是一个非常有用的展开式，它在物理学和

工程学中的振动分析以及信号处理中经常被使用。余弦函数的泰勒

展开的一般形式如下：

cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...

同样地，该展开式是一个无限级数，在展开点 x=0 处的附近展开。

每一项的系数是根据偶数阶的阶乘来计算的。通过截断展开式，我

们可以得到余弦函数在附近点的近似值。

3. 指数函数的泰勒展开式

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指数函数的泰勒展开式也是一种常见的展开式，它在微积分和工程

学中经常被使用。指数函数的泰勒展开的一般形式如下：

exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

该展开式是一个无限级数，在展开点 x=0 处的附近展开。每一项的

系数是根据阶乘来计算的。通过截断展开式，我们可以得到指数函

数在附近点的近似值。

结论：

泰勒公式是微积分中一个重要的工具，能够将一个光滑的函数在某

个点附近用多项式来逼近。本文介绍了泰勒公式的定义，并列举了

三种常见的泰勒展开式：正弦函数的泰勒展开式、余弦函数的泰勒

展开式和指数函数的泰勒展开式。这些展开式在物理学、工程学和

应用数学中有广泛的应用，读者可以通过截断展开式来近似计算某

个函数在附近点的近似值。

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