2024年4月28日发(作者：)

指数函数与对数函数

专题1 指数型复合函数的单调性的判断

复合函数单调性的规律

:

若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数

的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即

“

同增异减

”

．利用复合函数法求解函数单调区间的基本步骤

如下：（

1

）求出原函数的定义域；

（

2

）将原函数分解为内层函数和外层函数；

（

3

）分析内层函数和外层函数的单调性；

（

4

）利用复合函数法

“

同增异减

”

可得出结论

.

【题型导图】

类型一 指数型函数单调性的判断



1



例

1

：（

2021·

全国高一课时练习）函数

y

＝





2



A

．（－

∞

，

0]

C

．（－

∞

，

2

]

【答案】

B

【详解】

1

解

:

函数

y

＝

()

u

在

R

上为减函数，

2

x

2

－2

的单调递减区间为（

）

B

．

[0

，＋

∞

）

D

．

[

2

，＋

∞

）



1



欲求函数

y

＝





2



x

2

2

的单调递减区间，只需求函数

u

＝

x

2

－

2

的单调递增区间，

而函数

u

＝

x

2

－

2

的单调递增区间为

[0

，＋

∞

），

故所求单调递减区间为

[0

，＋

∞

）

.

故选

:B

【变式

1

】（

2021·

浙江杭州市

·

高一期中）设函数

f(x)(a1)a

x

b(a0,a1)

，则函数

f(x)

的单调性（

）

A

．与

a

有关，且与

b

有关

C

．与

a

有关，且与

b

无关

【答案】

D

【详解】

因为函数

f(x)(a1)a

x

b(a0,a1)

，

所以当

0a1

时，

f(x)(a1)a

x

b

单调递增

.

当

a1

时，

f(x)(a1)a

x

b

单调递增

.

则

a0

且

a1

，

bR

，

f(x)(a1)a

x

b

的单调性都为单调递增

.

所以函数

f(x)(a1)a

x

b

的单调性与

a，b

无关

.

故选：

D

【变式

2

】函数

f



x



3

x

A

．



,2



【答案】

A

【详解】

因为函数

yx

2

4x3

的单调递增区间为



,2



，

所以根据复合函数单调性可知，

f



x



的单调递增区间为



,2



故选：

A

【变式

3

】（

2021·

江西景德镇市

·

景德镇一中高一期末）函数

f(x)e

2x1

e

x

（

xR

）的单调递减区间为

______

．





1ln2





【答案】



，



2

B

．与

a

无关，且与

b

有关

D

．与

a

无关，且与

b

无关

4x3

的单调递增区间为（

）

C

．



3,2



D

．



2,7



B

．



2,



【详解】

对于

f(x)e

2x1

1



1

e

（

xR

），令

te



t0



，则

yette





t







2e



4e

x

2

x

2

因为

te

x

在

R

上单增，

所以要求

f(x)e

2x1

e

x

（

xR

）的单调递减区间，

x

只需

0e

1

，解得：

x



1ln2



，

2e





1ln2





所以函数

f(x)e

2x1

e

x

（

xR

）的单调递减区间为



，



.