2024年4月6日发(作者：)
用lingo求解线性规划问题
用lingo求解线性规划问题
中国石油大学胜利学院
程兵兵
摘 要 食物营养搭配问题是现代社会中常见的问题,其最终的目的是节省总费用.本文通过对营养问题
的具体剖析．构建了一般的线性规划模型。并通过实例应用Lingo数学软件求解该问题.并给出了价值系数
灵敏度分析,得出蔬菜价格的变动对模型的影响.
关键词 线性规划，lingo，灵敏度分析。
一、问题重述与分析
营养师要为某些特殊病人拟订一周的菜单，可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量以及这类病
人每周所需各种营养成分的最低数量如下表1所示。有以下规定:一周内所用卷心菜不多于2份，其他蔬菜不
多于4份。
问题一:若病人每周需要14份蔬菜，问选用每种蔬菜各多少份，可使生活费用最小.
问题二:当市场蔬菜价格发生怎样波动时，所建模型的适用性。
表 1 所需营养和费用
每份蔬菜所含营养成分
蔬菜
青豆
胡萝卜
花菜
卷心菜
甜菜
土豆
每周营养
最低需求
量
6.0
325
17500
245
5。0
铁（mg)
0。45
0.45
1。05
0。4
0.5
0.5
磷(mg)
10
28
50
25
22
75
VA（单位）
415
9065
2550
75
15
235
VC(mg）
8
3
53
27
5
8
费用
（元/份）
烟酸(mg）
0。3
0。35
0。6
0.15
0。25
0。8
1.5
1.5
2.4
0。6
1。8
1.0
营养搭配是一个线性规划问题，在给定蔬菜的情况下,要求菜单所需的营养成分必须达到要求，并在此条
件下求出什么样的搭配所花费的费用最少.
第一个要求是满足各类营养的充足，根据表中数据列出不等式。第二要求为问题一中，蔬菜的份数必须
为14,第三要求为在一周内,卷心菜不多于2份,其他不多于4份，根据以上条件列出各类蔬菜份数的限定条
件，并可表示出费用的表达式.
对于第二问，就是价值系数的变化对总费用的影响，模型的适用范围
。
三、模型假设
用lingo求解线性规划问题
第一,假设各蔬菜营养成分保持稳定，满足题干要求。
第二,假设各蔬菜价格在一定时间内保持相对稳定。
第三，假设各类蔬菜供应全部到位，满足所需要求量.
第四,假设所求出最优解时不要求一定为整数。
四、符号约定
（1)Z代表目标函数,此题即为费用。
(2）
c
i
为价值系数，此题即为每份蔬菜的价格。下标
i
代表蔬菜的种类。
(3）
x
i
为决策变量，表示各种蔬菜的数量。
(4）
b
i
为最低限定条件,表示蔬菜最低营养需要。
五、模型建立
根据以上各种假设和符号约定，建立模型如下。所求的值就是min,也就是最优化结果.
min Z
c
i
x
i
i1
6
a
i
x
i
b
i
6
s。t
x
i
14
i1
x
i
0,x
1
,x
2
,x
3
,x
5
,x
6
4,x
4
2
六、模型求解
1.根据模型可以列出以下方程：
目标函数：
min Z=1.5＊x1+1。5*x2+2.4*x3+0。6*x4+1.8*x5+1。0＊x6;
约束条件：
0。45＊x1+0.45＊x2+1.05＊x3+0。4＊x4+0。5＊x5+0。5＊x6>6.0；
10＊x1+28*x2+50*x3+25＊x4+22*x5+75*f>325；
415*x1+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235＊x6〉17500;
8*x1+3＊x2+53*x3+27＊x4+5＊x5+8*x6>245;
0.3＊x1+0。35*x2+0。6＊x3+0。15＊x4+0.25*x5+0.8*x6>5.0；
x1+x2+x3+x4+x5+x6=14;
x4〈=2；x1<=4；x2<=4；x3〈=4;x5〈=4;x6<=4;
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