2024年1月24日发(作者：)
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无约束优化
X2
+
x 2-2
x 1
x 2-4
初选
x0=[1,1]
x 1
程序：
min f(x)=
Step 1: Write an
function f1=objfun1(x)
f1=x(1)人2+2*x(2)入2-2*x(1)*x(2)-4*x(1);
Step 2: Invoke one of the unconstrained optimization routines
x0=[1,1]；
>> options = 0Ptimset('LargeScale','off);
>> [x,fval,exitflag,output] = fminunc(@objfun1,x0,options)
运行结果：
x =
4.0000 2.0000 fval =
-8.0000
exitflag =
1 output =
iterations: 3
funcCount: 12
stepsize: 1
firstorderopt: 2.3842e-007
algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search message:
[1x85 char]
非线性有约束优化
1. Min f(x)=3
x：
+
x 2+2
x 1-3
x 2+5
Subject to:
g 2(x)=5
X1-3
X2
-25
<
0
g (x)=13
X -41
X 2
<
0
3
g
4(x)=14
<
X
1
<
130
1 2
g5
(x)=2
<
X 2
<
57
初选
x0=[10,10]
Step 1: Write an M-file objfun2.m
function f2=objfun2(x)
f2=3*x(1)人2+x(2)人2+2*x(1)-3*x(2)+5;
Step 2: Write an M-file confunl.m for the constraints.
function [c,ceq]=confun1(x) % Nonlinear inequality
constraints c=[x(1)+x(2)+18;
5*x(1)-3*x(2)-25;
13*x(1)-41*x(2)人2;
14-x(1);
x(1)-130;
2-x(2);
x(2)-57];
% Nonlinear inequality constraints ceq=[];
Step 3: Invoke constrained optimization routine
x0=[10,10]; % Make a starting guess at the solution
>> options = optimset('LargeScale','off);
>> [x, fval]=...
fmincon(@objfun2,x0,[],[],[],[],[],[],@confun1,options)
运行结果：
x =
3.6755 -7.0744 fval =
124.1495
2. min f
(x)
=4x2 +
5x2
s.t.
g 1(x)
=
2X]
+
3x2
-
6
<
0
g (x)
=
x x +1
>
0
初选 x0=[1,1]
Step 1: Write an M-file objfun3.m
function f=objfun3(x) f=4*x(1)人2 +
5*x(2)人2
Step 2: Write an M-file confun3.m for the constraints.
function
[c,ceq]=confun3(x) %Nonlinear inequality constraints c=[2*x(1)+3*x(2)-6;
-x(1)*x(2)-1];
% Nonlinear equality constraints ceq口；
Step 3: Invoke constrained optimization routine
x0=[1,1];% Make a starting guess at the solution
>> options = optimset('LargeScale','off);
>> [x, fval]=...
fmincon(@objfun,x0,[],[],[],[],[],[],@confun,options)
运行结果：
Optimization terminated: no feasible solution found. Magnitude of search direction less than
2* but constraints are not satisfied.
x =
11
fval =
-13
实例：螺栓连接的优化设计
图示为一压气机气缸与缸盖连接的示意图。已知
D1=400mm,D2=240mm,缸内工作压力
p=8.5Mpa,螺栓材料为45Cr，抗拉强度。b
=
1000Mpa，屈服强度。$
=
320Mpa，拉压
疲劳极限。=330Mpa，许用疲劳安全系数[S ]
=
1.7，取残余预紧力F”=
1.6F，采用
-1 a
铜皮石棉密封垫片，螺栓相对刚度Kc
= 0.8。从安全、可靠、经济的角度来选择螺栓的个
数n和螺栓的直径d。
解：
1 .目标函数
取螺栓组连接经济成本Cn最小为目标。当螺栓的长度、材料和加工条件一定时，螺栓
的总成本与n，d值成正比，故本问题优化设计的目标函数为
min
f (x)
=
C = nd = x x
由此可见，设计变量为螺栓个数n和直径d为
x = [ n
d ]
T =
[ x x ]
T
2
.约束条件
(1)强度约束条件：螺栓在脉动载荷下工作，因此螺栓组连接须满足疲劳强度条件
[]
S 二才
W --
>
S 」
K +W
及6
+6
/
2o
+(K -w 4
1 --------- 6 ------ min
i a a
其中6
a为应力幅值;6
mi方最小应力；K6为疲劳极限综合影响系数，取K6 =4.4； W
6
为应力折算系数，取W6=0.23.
气缸最大载荷P
=
--D D2
p 4
2
P
螺栓最大工作载荷F =
F „ +- ,
o
+
0
F
-
n max
1
4
i
nd 2
min
螺栓应力幅——max ------- min
值。
螺栓最小工作载荷F =
F0-K
2
『二Fo
-
0.8p /n ,。对于普通螺纹，小径d =
0.85d，于是疲劳强度约束条件为
1
g
[（X ）=S ]-
S < 0
（2）密封约束条件：考虑密封安全，螺栓间距应小于8d，故密封约束条件为
f )
nD 0 , 400n
o
g X )=———―
8d = 一
8x
2
n x
2
i
（3）扳手工作空间约束条件：考虑扳手工作空间，螺距间距应大于2d，故扳手工作空间约
束条件为g &）=
2d 一吗=2x 一料n<
0
3
n
2
x
i
（4）非约束条件
g（X）=一x <
0, g
（X ）=一x <
0
螺栓连接的优化数学模型
综上所述，本问题的数学模型可表达如
设计变量:
下
目标函数:
x =
lx , x >
)s.t.g
(x<
0,u = 1,2,3,4,5
约束条件：
M文件
function f=stud_obj(x) f=x(1)*x(2);
global p Ksigam psai sigam_1
p=8.5*le6;
Ksigam=4.4;psai=0.23;sigam_1=330;D2=240;
p=1/4*pi*D2入2*le-6*p;
function [c,ceq]=stud_conl(x)
global p Ksigam psai sigam_1 p,x
F0=(1.6*p+p)/x(1);
d1=0.85*x(2);
A=1/4*pi*d1A2;
F1=F0-0.8*p/x(1);
sigma_max=F0/A;
sigma_min=F1/A;
sigma_1=(sigma_max-sigma_min)/2;
Sa=(2*sigma_1+(Ksigma-psai)*sigma_min)/((Ksigma+psai)*(2*sigma_a+sigm
a_min));
c=[1.7-Sa;
400*pi/x(1)-8*x(2);
-400*pi/x(1)+2*x(2);
16-x(1);
-x(2)];
ceq=[];
x0=[7,20];
[x,feval]=fmincon(@stud_obj,x0,[],[],[],[],[],[],@stud_conl)
运行结果：
x =
16.00 28.84
fval =
461.39
根据实际问题的意义取整、标准化：n=16,
d=30,经验证n和d的取值满足约束条件。
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