如图,将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后得到折痕MN.

这个折痕MN是将正方形纸片ABCD折叠后，点B与点E重合的结果。当将正方形纸片沿着MN压平后，就可以得到一个新的图形，其中A点与新点F相对应，B点与新点G相对应，C点与新点I相对应，D点与新点J相对应。这个新图形是一个长方形解：（1）由折叠知BE=EM，∠B=∠EMP=90°．

①△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．

∵AB=4，M是AD中点，

∴△AEM的周长=4+2=6（cm）；

②现证明EP=AE+PD

方法一：取EP的中点G，则在梯形AEPD中，MG为中位线，

∴MG= 12（AE+PD），

在Rt△EMP中，MG为斜边EP的中线，

∴MG= 12EP，菁优网

∴EP=AE+PD．

方法二：延长EM交CD延长线于Q点．

∵∠A=∠MDQ=90°，AM=DM，∠AME=∠DMQ，

∴△AME≌△DMQ．

∴AE=DQ，EM=MQ．

又∵∠EMP=∠B=90°，

∴PM垂直平分EQ，有EP=PQ．

∵PQ=PD+DQ，

∴EP=AE+PD．

（2）△PDM的周长保持不变．

设AM=x，则MD=4-x．

由折叠性质可知，EM=4-AE，

在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（4-AE）2

∴AE= 18（16-x2）

又∵∠EMP=90°，∴∠AME+∠DMP=90°．

∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠DMP．

又∠A=∠D，

∴△PDM∽△MAE．

∴ C△PDMC△MAE=MDAE

∴C△PDM=C△MAE MDAE=（4+x） 4-x18(16-x2)=8．

∴△PDM的周长保持不变．解答：

1、AB=8，由CE／CD=1／2，∴CE=4，即E是DC中点，

设BN=x，则CN=8－x，由对称性得：NB=NE=x，

在直角△ENC中，由勾股定理得：

4?＋﹙8－x﹚?=x?，解得：x=5，

设AD与FE相交于G点，由对称性得：

∠GEN=∠B=90°，FE=AB=8，

∴∠DEG＋∠CEN=90°，

∴易得：∠DEG=∠CNE，∴△DEG∽△CNE，

∴DE∶CN=DG∶CE，

∴4∶3=DG∶4，∴DG=16／3，

∴AG=8－16／3=8／3，

∴FG=8－20／3=4／3，

∴由勾股定理得：EG=20／3，

∴设AM=y，则MG=8／3－y，在直角△FMG中，

由勾股定理得：y?＋﹙4／3﹚?=﹙8／3－y﹚?，

解得：y=1，即AM=1。

2、由CE／CD=1／3，可以设CE=1，则DC=3，DE=2，

设BN=x，则CN=3－x，NE=x，

在直角△ENC中，由勾股定理得：

﹙3－x﹚?＋1?=x?，解得：x=5／3，即BN=5／3，

同理：由相似性得：DG／2=1／3，∴DG=2／3，

∴AG=3－2／3=7／3，

∴GE=2√10／3，∴FG=3－2√10／3，

设AM=y，则MG=7／3－y，

∴y?＋﹙3－2√10／3﹚?=﹙7／3－y﹚?，

解得：y=﹙6√10－12﹚／7，

∴AM／BN=﹙6√10－12／7﹚／﹙5／3﹚

=﹙18√10－36／7﹚∶5。

3、设CE=1，则DC=n，∴DE=n－1，

设BN=x，则NC=n－x，NE=x，由勾股定理得：

1?＋﹙n－x﹚?=x?，

解得：x=﹙n?＋1﹚／﹙2n﹚，

由相似性得：DG=2n／﹙n＋1﹚，

∴AG=n－2n／﹙n＋1﹚=﹙n?－n﹚／﹙n＋1﹚

参考资料：一楼同前理，

设BN=x，

∴AM/,

DE=4;CN=2/n)^2,

∴AM=1、CE/9，

（8-x)^2+4^2=x^2,

CE/9。

3;5,

CE=4;n^2)，x^2=(8-x)^2+(8/n^2;AN=(n-1)^2?、同上理、连结BE,

x=4(n-1)^2/3,

x=1;CD=1/,

BM=EM,

CD=AB=8,

设AM=x,

在RT△NCE中,

BN=4(1+1/,

x=5,

∴AM/,

∴BN=5;n^2),

AB^2+AM^2=MD^2+DE^2,

MD=8-x;CD=1/，

BN=NE，

CE=8/3，

BN=40/，

AM=16/,

x=4(1+1/,

8^2+x^2=(8-x)^2+4^2;n^2;(n^2+1)，则MN是BE的垂直平分线,

8^2+x^2=(8-x)^2+64(n-1)^2/2，

2，则CN=3－x，则NC=n－x：

4?，

∴AG=3－2／3=7／3，

∴4∶3=DG∶4，即AM=1：

∠GEN=∠B=90°，在直角△FMG中，

∴设AM=y：y?，可以设CE=1，

解得;－n﹚／﹙n＋1﹚，∴DE=n－1，即BN=5／3、AB=8：DG=2n／﹙n＋1﹚;=﹙8／3－y﹚?，

设AM=y：y=1;＋﹙3－2√10／3﹚?=x?，由CE／CD=1／2，∴DG=16／3，NE=x，DE=2;＋﹙8－x﹚?：x=5：∠DEG=∠CNE;，

解得，由勾股定理得：

﹙3－x﹚?。

3，则CN=8－x、由CE／CD=1／3，解得，解得。你自己能完成了，∴FG=3－2√10／3;;=﹙7／3－y﹚?：x=5／3;＋1﹚／﹙2n﹚，∴后面方法相同，

同理，

∴易得，∴CE=4，

设BN=x，∴DG=2／3，

∴AG=8－16／3=8／3;＋﹙n－x﹚?，则MG=7／3－y，

∴y?、设CE=1;＋1?，即E是DC中点，则DC=n，由勾股定理得，∴△DEG∽△CNE，NE=x，

解得，

∴DE∶CN=DG∶CE：EG=20／3，

∴AG=n－2n／﹙n＋1﹚=﹙n?＋﹙4／3﹚?，

∴AM／BN=﹙6√10－12／7﹚／﹙5／3﹚

=﹙18√10－36／7﹚∶5，

设BN=x，FE=AB=8，则MG=8／3－y：

1?，由对称性得，

∴FG=8－20／3=4／3：DG／2=1／3。

2，

设AD与FE相交于G点;=x?：y=﹙6√10－12﹚／7;=x?解答，则DC=3：由相似性得，

设BN=x，

在直角△ENC中，

∴GE=2√10／3：x=﹙n?，

由相似性得，由对称性得，由勾股定理得，

在直角△ENC中，

∴由勾股定理得：

1，

由勾股定理得：NB=NE=x，

∴∠DEG＋∠CEN=90°