2024年5月9日发(作者：iphone15 ultra好消息)

例4 某企业由于生产能力过剩，拟开发新产品，有四种品种可供选择.市场销售有好、中、

差三种情况，销售状态的概率和每一品种在不同状态下的收益表所示.按照以下不同的准则，

试问该厂应开发哪一种产品最好。

表

销路

概率

收益 万元

品种

好 中 差

14 14 12

22 14 10

18 16 10

20 12 8

a

1

a

2

a

3

a

4

（1）最大可能准则；

（2）期望收益准则；

（3）期望损失准则；

解 收益矩阵如下：

s

1

s

2

s

3

a

1



14

a

2



22



Q

a

3



18



a

4



20

1412



1410





1610





128



j

（1）由最大可能准则由(即由

*

p(s

t

)max{p(s

j

)}

）知

p(s

2

)0.5,

d

3

max{q

i2

}max{14,14,16,12}16.

j

故开发第三种产品最好。

（2）据期望收益准则有

d

1





q

1j

p(s

j

)140.3140.5120.213.6,

j

d

2





q

2j

p(s

j

)220.3140.5100.215.6,

j

d

3





q

3j

p(s

j

)180.3160.5100.214.4,

j

d

4





q

4j

p(s

j

)200.3120.580.213.6,

j

*

d

2

max{d

1

,d

2

,d

3

,d

4

}max{13.6,15.6,14.4,13.6}15.6.

i

故开发第二种产品最好。

（3）据期望损失准则，令

b

ij

maxq

ij

q

ij

i

表示在状态

s

j

下，采用方案

a

i

的后悔值，则有后悔值矩阵

s

1

s

2

s

3

a

1



8

a

2





0

B

a

3



4



a

4



2

j

20



22





02





44



d

1





b

1j

p(s

j

)80.320.500.23.4,

d

2





b

2j

p(s

j

)00.320.520.21.4,

j

d

3





b

j

j

3j

p(s

j

)40.300.520.21.6,

d

4





b

4j

p(s

j

)20.340.540.23.4,

*

d

2

min{d

1

,d

2

,d

3

,d

4

}max{3.4,1.4,1.6,3.4}3.4.

i

故开发第一种或第四种产品是最好的方案。

例 5 某制造公司加工某种机器零件，批量为150个。经验表明每一批零件的不合格

率p不是就是，而所加工的各批量中p等于的概率是。每批零件最后将被用来组装一个部件。

制造厂可以在组装前按每个零件10元的费用来检验一批中所有零件。发现不合格品立即更

换，也可以不予检验就直接组装，但发现不合格品后返工的费用是每个100元。试问在下列

三个准则下做出最优方案（是检验还是不检验）：

（1）最大可能准则

（2）期望收益准则

（3）期望损失准则

解用s

1

表示状态{p0.05},s

2

表示状态{p0.25},a

1

表示方案“检验”，a

2

表示方案

“不检验”，于是依题意有如下收益矩阵和p(s

1

)0.8,p(s

2

)0.2:

s

1

s

2

Q

（1）据最大可能准则有

a

1



15001500





a

2



7503750



p(s

1

)max{p(s

1

),p(s

2

)}p(s

1

)0.8,

dmax{1500,750}750.

*

2

故不检验为最佳方案。

（2）据期望收益准则有

d

1





q

1j

p(s

j

)15000.815000.21500(元)，

j

d

2





q

j

2j

p(s

j

)7500.837500.21350(元)，

*

d

2

max{d

1

,d

2

}max{1500,1350}1350.

故，不检验为最佳方案。

（3）据期望损失准则有后悔矩阵

s

1

s

2

a

1



7500



B



a

2



02250



于是

d

1





b

1j

p(s

j

)7500.800.2600(元),

j

d

2





b

j

2j

p(s

j

)00.822500.2450(元)，

*

d

2

min{d

1

,d

2

}450.

故，不检验为最优方案。

例 6 在例5种，工厂为慎重起见，在进行决策前，从一批中抽出一个产品进行初检，

然后据此产品是否合格来决定是否对该批产品进行检验，试问：

（1）在初检合格时，据后验准则，最优方案为何？

（2）在初检为不合格时，据后验准则，最优方案为何？

解延续上题的记号并用x

1

表示“初检合格”，x

2

表示“初检不合格”，于是p(x

1

|s

1

)

p(x

1

)p(x

1

|s

1

)p(s

1

)p(x

1

|s

2

)p(s

2

)

0.95,p(x

2

|s

1

)0.05,p(x

1

|s

2

)0.75,p(x

2

|s

2

)0.25,以及

0.950.80.750.20.91,

p(x

2

)1p(x

1

)10.910.09.

（1）由Bayes公式可求得：

p(s

1

|x

1

)

p(x

1

|s

1

)p(s

1

)

0.950.8

0.835,

p(x

1

)0.91

p(s

2

|x

1

)1p(s

1

|x

1

)10.8350.165.

于是据后验准则有

d

1





q

1j

p(s

j

|x

1

)15000.835(15000.165)1500,

j

d

2





q

j

2j

p(s

j

|x

1

)7500.83537500.1651245,

*

d

2

max{d

1

,d

2

}max{1500,1245}1245.

故，不检验为最优方案。

（2）由Bayes公式可求得：

p(s

1

|x

2

)

p(x

2

|s

1

)

0.050.8

0.444,

p(x

2

)0.09

p(s

2

|x

2

)1p(s

1

|x

2

)10.4440.556.

于是据后验准则有

d

1





q

1j

p(s

j

|x

2

)15000.444(1500)0.5561500,

d

2





q

2j

p(s

j

|x

2

)7500.444(37500.556)2418,

d

1

*

max{d

1

,d

2

}max{1500,2418}1500.

故，检验为最优方案。

例7某石油公司考虑在某地钻井，结果可能出现三种情况：无油(s

1

)；油量少(s

2

)；

油丰富(s

3

).石油公司估计，三种状态出现的概率为p(s

1

)0.5,p(s

2

)0.3,p(s

3

)0.2.钻井

费用为7万元，如果少量出油可收入12万元，如果大量出油可收入27万元。

为了进一步了解地质构造情况，可进行勘探，勘探结果可能是构造较差(x

1

),构造一般

(x

2

)和构造良好(x

3

).根据过去的经验，地质构造与油井出油的关系如表8.4所列.

表

p(x

j

|Q

i

)

构造较差x

1

0.6

0.3

0.1

构造一般x

2

0.3

0.4

0.4

构造良好x

3

无油s

1

油少量s

2

油丰富s

3

0.1

0.3

0.5

如果勘探费用需1万元，问（1）应先勘探还是直接钻井，（2）应该怎样根据勘探结果

来决定是否钻井？

解

用a

1

表示“钻井”，a

2

表示“不钻井”，则收益矩阵为

s

1

Q

并求得：

s

2

s

3

a

1



7520





a

2



000



p(x

1

)



p(x

1

|s

j

)p(s

j

)0.60.50.30.30.10.20.41,

j1

3

3

p(x

2

)



p(x

2

|s

j

)p(s

j

)0.30.50.40.30.40.20.35,

j1

p(x

3

)10.410.350.24,

p(s

1

|x

1

)

p(s

2

|x

1

)

p(x

1

|s

1

)p(s

1

)

0.60.5

0.7317,

p(x

1

)0.41

p(x

1

|s

2

)p(s

2

)

0.30.3

0.2195,

p(x

1

)0.41

p(s

3

|x

1

)10.73170.21950.0488.

同理有

p(s

1

|x

2

)0.4286,p(s

2

|x

2

)0.3428,p(s

3

|x

2

)0.2286,

p(s

1

|x

3

)0.2083,p(s

2

|x

3

)0.375,p(s

3

|x

3

)0.4167.

于是勘探结果为x

1

时：

d

1





q

1j

p(s

j

|x

1

)70.731750.2195200.04883.0484,

d

2

0,

*

d

2

max{d

1

,d

2

}max{3.0484,0}0.

故，不钻井为最优选择

勘探结果为x

2

时：

d

1





q

1j

p(s

j

|x

2

)70.428650.3428200.22863.2858,

d

2





q

2j

p(s

j

|x

2

)0,

d

1

*

max{d

1

,d

2

}max{3.2858,0}3.2858.

故，钻井为最优选择。

勘探结果为x

3

时：

d

1





q

1j

p(s

j

|x

3

)70.208350.375200.41678.7509,

　　　　　　　　　　d

2





q

2j

p(s

j

|x

3

)0,

　　　　　　　　　　d

1

*

max{d

1

,d

2

}max{8.7509,0}8.7509.

故，钻井为最优选择。

　　　(1)据样本信息期望值EVSI的定义有：

　　　　　　EVSI



p(x

k

)•(max(



q

ij

p(s

j

|x

k

)))max{



q

ij

p(s

j

)}

j

i

j

　　　　　　　　　00.413.28580.358.75090.24(70.550.3200.2)

　　　　　　　　　3.250221.2502.

　　因此,样本信息价值为1.2502万元.该公司为获取这些新信息进行的勘探费用为一万

元,并没有超过样本信息价值,应先行勘探。

　　　(2)据勘探结果对钻井与否的回答在(1)的前段。

　　例８　一个工厂生产某种时令产品，每销售一件可获利十元，如果不能售出，每

积压一件要损失四元，预测到每月各种销售量的概率如表８５所示。　

　　表　８５.

　

日销售量（件）

销售概率

10000（s1）

20000(s2)

30000(s3)

40000(s4)

又企业的月最大生产能力为40000件，且通过调查知各种销售量状态下销路好与

不好的概率如表所示。

X s

销路好

销路不好

X为销路，s为销量。

(1)试求EVPI.

(2)求在调查结果销路好与不好的生产方案。

(3)试求EVSI.

解

用a

i

表示生产i10000(i1,2,3,4)件，x

1

表示销路好，x

2

表示销路不好，s

i

表示销售量

i10000(i1,2,3,4),则p(s

1

)0.15,p(s

2

)0.30,p(s

3

)0.35,p(s

4

)0.20.收益矩阵为

10 10 10



10



6



20 20 20



Q





2 16 30 30





2 12 26 40



其中收益矩阵中q

ij

的单位为万元。

10000(s1)

20000(s2)

30000(s3)

40000(s4)

　　　(1)据完全信息期望值

　　　　　　　　　EVPI



max{q

ij

p(s

j

)}max{



q

ij

p(s

j

)}

j

ii

j

有

　　　　



max{q

ij

p(s

j

)}100.15200.30300.35400.20

j

i

　　　　　　　　　　　26(万元)，

　　　　max{



q

ij

p(s

j

)}max{d

1

,d

2

,d

3

,d

4

}

i

j

　　　　　　　　　　　max{10,17.9,21.6,20.4}21.6.

故EVPI2621.64.4.

　　这意味着工厂为了获得完全信息，可以支付4.4万元。

　　　(2)由已知有：

p(x

1

)



p(x

1

|s

j

)•p(s

j

)0.30.150.50.300.70.350.80.2

　　　0.6,

p(x

2

)



p(x

2

|s

j

)•p(s

j

)0.70.150.50.300.30.350.20.2

　　　0.4.

于是

　　　　　　　　　　p(s

1

|x

1

)

　　　　　　　　　　p(s

2

|x

1

)

p(x

1

|s

1

)p(s

1

)

0.30.15

0.075,

p(x

1

)0.6

p(x

1

|s

2

)p(s

2

)

0.50.3

0.25.

p(x

1

)0.6

同理有：

　　　　　　　　　　　　p(s

3

|x

1

)0.408,p(s

4

|x

1

)0.267,

　　　　　　　　　　　　p(s

1

|x

2

)0.2625,p(s

2

|x

2

)0.375,

　　　　　　　　　　　　p(s

3

|x

2

)0.2625,p(s

4

|x

2

)0.1.

　　在信息为销路好时：

　　d

1

|x

1





q

1j

p(s

j

|x

1

)100.075100.25100.408100.267

j

　　　　　10,

　　d

2

|x

1





q

2j

p(s

j

|x

1

)60.075200.25200.408200.267

j

　　　　　18.95,

　　d

3

|x

1

20.075160.25300.408300.26724.4,

　　d

4

|x

1

20.075120.25260.408400.26724.138,



　　d

3

|x

1

max{10,18.95,24.4,24.138}24.4.

故，生产3万件为最优方案。

　　在信息为销路不好时：

d

1

|x

2





q

ij

p(s

j

|x

2

)100.2625100.375100.2625100.110.