2024年5月5日发(作者：魅蓝6参数)

.

三角函数常用公式及用法

珠海市金海岸中学 唐云辉

1、终边相同的角及其本身在内的角的表示法：

S=

{



|







k360,kZ}

，或者

S{



|







2k



,kZ}

用法：用来将任意角转化到

0

～

2



的范围以便于计算。

公式中k的求法：

如是正角就直接除以

360或2



，得到的整数就是我们要求的k，剩余的角就是公式中的



；

如果是

负角，就先取绝对值然后再去除以

360或者2



，得到的整数加1后再取相反数

就是上述公式中的

k,



等于360或者2



减去剩余的角的值。

2、L

弧长

=



0

0

0

0

n



R

11

nπR

R= S

扇

=L

R=R

2



=

180

360

22

2

用法：前者是弧长公式，用以计算圆弧的长度；后者为扇形的面积公式，用以计算扇形的面积。

3.三角形面积公式：S

⊿

=

1111abc

2

a

h

a

=ab

sinC

=bc

sinA

=ac

sinB

==2R

sinAsinBsinC

22224R

a

2

sinBsinC

b

2

sinAsinC

c

2

sinAsinB

====pr=

p(pa)(pb)(pc)

2sinB

2sinA2sinC

(其中

p

1

(abc)

, r为三角形内切圆半径)

2

ysin



=

xcos



4．同角关系：

（1）、商的关系：①

tan



=

用法：一般用来计算三角函数的值。

（2）、平方关系：

sin



cos



1

用法：凡是见了

sin



cos



m

或者

sin



cos



sin



cos



的形式题目都可以用上述平方关系进

行运算，遇到

sin



cos



m

就先平方而后再运算，遇到

sin



cos



sin



cos



这类题目就联想

到分母为“1”=

sin



cos



进行运算即可。

（3）、辅助角公式：

asin



bcos





22

22

22

22

a

2

b

2

sin(







)

（其中a>0,b>0，且

tan





b

）

a

用法：用以将两个异名三角函数转化成同名三角函数，以便于求取相关的三角函数。

5、函数y=

Asin(



x



)

k的图象及性质：（



0,A0

）

1 / 5'.

.

振幅A，周期T=

2





, 频率f=

1

, 相位



x



，初相



T

求取上上述公式中参数的方法：

A= k=



的求法：

6、五点作图法：令



x



依次为

0



2

,



,

3



,2



求出x与y，依点



x,y



作图

2

7、函数

ysinx，ycosx,ytanx的相关性质

函 数

y

1

y=sinx





2

0

-

y=cosx

y

1

y=tanx

2



5



2

图 形



2



3



2

2



5



2

x





0

-



2



3



2

x



3



2





2





3



2

定义域

xR

xR

y[1,1]







x|xk



,kZ



2



全体实数R

值 域

y



[1,1]

x2k







,kZ时，y

max

1

2

x2k



时，y

max

1



最 值

x2k





2

单调性

递增区间：

递减区间：

奇佶函数

递增区间：

递减区间：

偶函数

,kZ时，y

min

1

x2k







时,y

min

1

无最值

在

(k







2

,k







2

)上递增

奇偶性

周 期

对称性

对称中心：

对称轴：

奇函数

T=

2



对称中心：

对称轴：

T=

2



对称中心：

对称轴：

T=



注意：1、表格中的k都表示整数；

2、这些都是标准三角函数的性质，其它扩展性的三角函数性质与这些标准函数是一样的，

只是变量有所变化而已，在解题时我们必须把非标准函数的变量整体代入标准函数的相关性

质求解，所得到的就是我们所要求解函数的结论。

8、诱导公式

2 / 5'.

.









①、

sin(•k



)



2







sin



,k4m,mZ;





cos



,k4m1,mZ;









cos(k



）

2

sin



,k4m2,mZ;





cos



,k4m3,mZ.



记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。本公式中关键在于看公式中的k,如果是奇数则三角函

数名称要改变，而后再根据角所处象限去判断取值的符号；如果是偶数则函数名称不变，符

号根据终边所处象限位置决定。其余两组公式也是一个规则，试着写出另外两组公式的变化

表。

②、六组诱导公式的用法：

公式一：

sin(2k







)sin



cos(2k







)cos



tan(2k







)tan



作用：将任意大于

2



的正角转化成

0

～

2



这个范围的角。

公式二：

sin(







)

cos(







)

tan(







)

作用：将由公式一转化到

0

～

2



这个范围内的角转化成锐角

0

～



这个范围.

2

公式三：

sin(-



)

cos(-



)

tan(-



)

作用：将任意负角转化成正角，再根据公式一转化成

0

～

2



这个范围的角。

公式四：

sin(



-



)

cos(



-



)

tan(



-



)

作用：将由公式一转化到

0

～

2



这个范围内的角转化成锐角

0

～



这个范围.

2

公式五：

sin(-



)

cos(-



)

22

公式六：

sin(











)

cos(



)

22



作用：这两组公式的作用就是在前四组公式化简的基础上，将函数化成异名三角函数进行求值。

9．二倍角公式：(含万能公式)

①

sin2



2sin



cos





22

2tan



1tan

2



22

1tan

2



②

cos2



cos



sin



2cos



112sin





1tan

2



tan

2



1cos2



2tan



1cos2



2

2

sin





cos





③

tan2





④ ⑤

2

2

1tan

2



1tan

2



10、三角函数的图像变化方法

平移口诀：左上加、右下减；左右x、上下y；



小伸长大缩短，A值变化与



反。

理解口诀：

变化模式：

一般地,函数y=Asin(ωx+φ)+k (A>0,ω>0),x∈R的图象可以看作是由y=sinx通过下面变

3 / 5'.

.

化得到的:

模式一：（先平移后伸缩，即先平移而后再变换周期）

1.先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0)或右(φ<0)平行移动| φ|个单位;

2.再把所得图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0< ω<1)到原来的1/ ω倍(纵坐标不

变);

3.再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

4、再把图像向上（k>0）或者向下(k<0）平移|k|个单位。

模式二：（先伸缩后平移，即先变换周期而后再平移）

1、先把y=sinx的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0< ω<1)到原来的1/ ω倍(纵坐

标不变);



|个单位;



3.再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

2、再把所得图象上所有的点向左(φ>0)或右(φ<0)平行移动|

4、再把图像向上（k>0）或者向下(k<0）平移|k|个单位。

11、解斜三角形

（1）、正弦定理

①、公式表现形式

abc

2R(R为三角形外接圆半径）。

sinAsinBsinC

②、正弦定理变式：

a:b:csinA:sinB:sinC

③、正弦定理的应用范围

A、 已知两角与一边，求其他两边与一角；

B、 已知两边与其中一边对角，求其他两角与一边，但是要注意角的个数；

C、 判断三角形形状；

D、 求三角形的面积：

S

ABC



（2）、余弦定理

①、边式余弦定理

a

2

b

2

c

2

2bccosA

b

2

a

2

c

2

2accosB

c

2

a

2

b2abcosA

②、角式余弦定理

c

2

b

2

a

2

a

2

c

2

b

2

b

2

a

2

c

2

cosA

cosB

cosC

2ab

2bc2ac

4 / 5'.

111

absinCacsinBbcsinA

222

.

③、余弦定理的应用范围

A、 已知两边与其夹角，求其他两角与一边；

B、 已知三边，求三角；

C、 判断三角形形状；

5 / 5'.