2024年5月3日发(作者：诺基亚6300小说格式)

推理和论证解答题专项练习30题

1．推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现

有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道

头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否

知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程．

2．暑假期间，小丽、小杰决定定期到敬老院打扫卫生，小丽每4天去一次，小杰每6天去一次，如果8月1日他

们俩都在敬老院打扫卫生，那么，他们下一次同时在敬老院打扫卫生的时间是几月几日？

3．某校开校运会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球

类比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参

加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

4．用1，2，3三个数字组成六位数，若每个数字用两次，相邻位不允许用相同的数字．

（1）试写出四个符合上述条件的六位数；

（2）请你计算出符合上述条件的六位数共有多少个？

5．10位小运动员，他们着装的运动服号码分别是1﹣10，能否将这10位运动员按某种顺序站成一排，使得每相邻

3名运动员号码数之和都不大于15？

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6．现有质量分别为5克和23克的砝码若干只，在天平上要称出质量为4克的物体，问至少要用多少只这样的砝码

才能称出？并证明你的结论．

7．10名棋手参加比赛，规定：每两名棋手间都要比赛一次，胜者得2分，下和各得1分，输者得0分．比赛结果

表明：棋手们所得分数各不相同，前两名棋手没输过，前两名的总分之和比第三名多20分，第四名得分与后四名

得分总和相等，那么前六名得分分别是多少？

8．世界预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，

平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级．由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是甲

专家预测：中国队只要得11分就能确保出线．

问：（1）这四支队的总得分之和最多有几分？

（2）甲专家的预测正确吗？为什么？

9．请你参与亮亮在翻转扑克牌游戏时的思考．

（1）亮亮同学把3张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，改变它们的朝向．他发现无论经过多少次这样的操作

都不能使3张扑克牌的正面全部朝下．他的结论对吗？

（2）把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，改变它们朝向，经过若干次操作，能否使4张扑克牌的正面都

朝下呢？

（3）把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转3张，改变它们朝向，经过若干次操作，能否使4张扑克牌的正面都

朝下呢？若能，至少要经过几次这样的操作？若不能，请说明理由．

10．某车间新调来三名青年工人，车间赵主任问他们三人的年龄：

①小刘说：“我比小陈小2岁．”

②小陈说：“小李和我差三岁．”

③小李说：“我比小刘年岁小，小刘23岁．”

请你帮助赵主任分析出他们三人各是多少岁？

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11．A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强． A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：

“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入．”大家

都没有说错，请问：进入前三强的是哪三个人？

12．某校初中一年（6）班有44人，老师给同学布置这样一个作业题：请你为班级设计一个联络网，并提出如下问

题供同学研究：

①借助电话传递一条信息，对于不同的方案打电话次数是否相同？

②如果打一次电话需要1分钟，那么从开始到结束，不超过9分钟传递一条信息，请你设计一种方案．

13．我们的数学教材中有一个“抢30的游戏”，现在改为“甲、乙二人抢20”的游戏．游戏规则是：甲先说“1”

或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数，然后又轮到甲再接着乙的数往下说一个或两个数，甲、乙反复轮流

说，每次每人说一个或两个数都可以，但不能连续说三个数，也不能一个数也不说．谁先抢到20，谁就获胜．因为

甲先说，你认为谁会获胜？请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理．

14．有一座三层楼房不幸起火，一个消防员搭梯子爬往三楼去救一个小孩子，当他爬到梯子正中1级时，二楼窗口

喷出了火，他就往下退了3级，等到火过了，他又爬了7级，这时屋顶有两块杂物掉下来，他又往下退了2级，幸

好没有打中他．他又向上爬了8级，这时他距离梯子最高层还有1级，问这个梯子共有几级？

15．用一个平底锅烙饼，每次只能烙两块饼，烙熟一张饼需要2分钟（正、反面各需1分钟）．问烙熟3张饼至少

需要几分钟怎样烙？

16．有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且（1）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”（2）

黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”（3）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”已知（1）、（2）、（3）中只

有一句是真的，问苹果在哪个箱子里？

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17．老师与学生小王、小张、小李玩帽子游戏，老师先给三位学生看了四顶帽子，其中二顶是红色的，一顶蓝色的，

还有一顶是黄色的．然后让他们先闭上眼睛，给他们每人戴上一顶帽子后，睁开眼睛看其他学生帽子的颜色，然后

说出自己所戴帽子的颜色，小李看到的颜色是：小王的帽子是红色的，小张的帽子是黄色的，同时看到小王，小张

无法马上说出自己帽子的颜色，这时小李立刻猜出自己所戴帽子的颜色，小李帽子的颜色是什么？为什么？

18．有一个人用装10斤油的瓶装了一瓶油拿到市场上去卖，正好来了两个买油的，每人要买5斤，但是没有秤，

只有二只空瓶，一个能装7斤油，另一个能装3斤油．试用这3个瓶把10斤油分成两份各为5斤的油．你有什么

好方法呢？

19．一个老大爷要过河，随身携带的有一只羊、一篮子青草和一只狼．他发现系在河边的小船一次只能载他和一样

物体过河，他不能让狼和羊留在一起，因为狼会吃掉羊；他也不能把羊和青草留在一起，因为羊会吃掉青草，怎么

办呢？请你帮助老大爷过河．

20．某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆

汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出

租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：第一辆出租汽车开出后，经过最少多少时间，车站不能正点

发车？

21．11个学生到书店去买书，每人都买了若干本．其中买书最多的人买了100本书．

证明：这11个学生中必有2人，他们买的书相差不到10本．

22．某次初二数学竞赛，共有99所学校中学报名参加，每校参赛者中既有男选手，也有女选手，证明：存在其中

的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半，且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．

23．三个口袋里，一个口袋装有两个红球，一个口袋装有两个白球，一个口袋装一红一白两个球，但口袋外面贴的

标签都是错的．现在请你从其中一个口袋里取出一个球，使你能根据这个球的颜色判断出这三个口袋里球的颜色．写

出你的过程和结论．

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24．某夏令营共8名营员，其中3人来自甲校，3人来自乙校，2人来自丙校．在一项游乐活动中，他们分乘4辆2

座位的游乐车．为加强校际间交流，要求同一学校的营员必须分开乘车，每一辆车上的营员必须来自不同的学校．问

这能够做到吗？若能，请设计一个乘车方案；若不能，请说明理由．

25．国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分，今有8名选手进行单循环比赛（每两人均

赛一局），赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次手，第四名选手得4.5分，第二名

的得分等于最后四名得分总和，问前三名选手各得多少分？说明理由．

26．在一次数学竞赛中，a

1

，a

2

，a

3

，a

4

4位学生分别获得了前4名的某一名次，赛前甲、乙、丙3位老师作了预测．甲

说：a

3

第一，a

1

第三；乙说：a

2

第一，a

4

第四；丙说：a

4

第二，a

3

第三．比赛结果公布后发现每位老师各猜中一个

学生的名次，你能得出四个学生的准确名次吗？

27．一种玩具，其中有一个红色的按钮，一个黄色的按钮和100个能站能坐的小木偶．按一次红色的按钮就会有一

个站着的小木偶坐下；按一次黄色的按钮就可以使站着的木偶增加一倍；现在只有三个小木偶站着，要使站着的小

木偶变为21个，最少需按几次按钮就够了？每次按哪个按钮？

28．退休工人张师傅家里有一只老式挂钟，每隔一小时打一次钟，两点整打两下，八点整打八下，总之，几点整就

打几下．一天，张师傅在家看书，10分钟后，听到打了一次钟，他又继续看书，看完书，抬头看钟，时针和分针恰

好重合在一起，张师傅把这个过程告诉儿子，并且说：“我看书时，记得总共打了12下，但不知分几次打的，你给

我算一算，我看了多少时间的书？”

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29．某商店有5只分别装有麻油、豆油、菜油，其重量如图，其中麻油一桶，豆油的公斤数恰好是菜油的两倍，五

只桶分别装的是哪种油？并请说明推理过程．

30．开动脑筋，巧移硬币；在一个水平桌面上，如图放着6枚硬币．若把左图的形状改成如下图的摆放形状，即围

成一圈，中间还有一个能放1枚硬币的空间，但是每次只能移动1枚硬币，同时不能移其他的硬币，并且硬币也不

能离开桌面．

请问：我们怎样才能使移动的次数最少呢？

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参考答案：

1．解：甲戴的是白帽子．理由如下：

因为丙说不知道，说明甲、乙中至少有一个人戴白帽子（如果甲、乙都戴黑帽子，丙马上知道自己戴的是白帽子）．

因为乙也说不知道，说明甲戴的是白帽子（如果甲戴黑帽子，甲、乙中至少有一个人戴白帽子，则乙马上知道自己

戴的是白帽子）

2．解：4、6的最小公倍数是12，所以他们应在12天以后，即第13日再相遇．

答：他们下一次同时在敬老院打扫卫生的时间是8月13日

3．解：只参加游泳比赛的人数：15﹣3﹣3=9（人）；

同时参加田径和球类比赛的人数：8+14﹣（28﹣9）=3（人）

4．解：（1）以1开头的数有121323 131232 123123 123132 132123 132132 123213 132312 132321 123231 等10

个数；

（2）121323，131232，123123，123132，121323，121332，132123，132132，123213，132312，213123，213132，

312123，312132，212313，213213，312312，313212，213231，312321，231213，231312，321213，321312，231231，

231321，321231，321321，232131，323121则共30个符合条件的六位数

5．解：不能．理由如下：

因为所有号码的总和为55，如果每相连的3个号码数都不大于15，则前9个号码数的和不大于3×15=45，故第10

个号码数不小于10，即只能为10．同理，后9个号码数的和不大于45，故第1个号码数不小于10，因此，也必须

为10，显然这是不可能的

6．证明：易知只用一种砝码是不行的，所以要两种都用，

先考虑23克砝码的个数，设为x，设5克砝码是y个，

则23x=5y加减4，

所以23x的尾数必然是1，4，6，9中的一个，

所以x的尾数必然是2，3，7，8的一个，

从小往大依次试验，x=2，y=10，x=3，y=13，x=7，…

可知随着x的增大，y值也是增大的，

所以最少用10+2=12个砝码

7．解：设第k名选手的得分为a

k

（1≤k≤10），依题意得：a

1

＞a

2

＞a

3

＞…a

9

＞a

10

a

1≤1+2×（9﹣1）=17，

a

2≤

a

1﹣1=16

，

a

3+20=

a

1+

a

2，

∴a

3≤13 ①，

又后四名棋手相互之间要比赛=6场，每场比赛双方的得分总和为2分，

∴a

7

+a

8

+a

9

+a

10≥12，

∴a

4≥12而

a

3≥

a

4+1≥13，②∴由①②得：

a

3=13，

∴a

1

+a

2=33，

∴a

1

=17，a

2=16，又

∵a

1

≤a

3﹣1=12，

∴a

4

=12，

∵a

1

+a

2

+a

3

+…a

8

+a

9

+a

10

=

×2=90，∴17+16+13+12+5

a+a

6

+12=90，

而a

5

+a

6

≤a

5

+a

5

﹣1，

≥10frac{1}{2}，又a5＜a

即：a

54

=12，

∴a

5

=11，a

6

=9，

故前六名得分分别是：17，16，13，12，11，9

8．解：（1）∵每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分

∴每场比赛最多得3分，

又四个队之间需要打比赛12场，

∴这四支队的总得分之和最多有3×12=36分；

（2）甲专家的预测正确．

若得11分不出线，则必为第三名，故前两名至少也得11分，

而最后一名至少得3分，故各队之和至少有36分，

由（1）可知比赛中没有平局，

而中国队已经得了11分，所以必有平局，

故不可能，所以必出线

9．解：（1）正确．

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3个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时，才能使3张牌的牌面都向下，

而每次翻动2张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数，

所以无论他翻动多少次，都不能使3张牌画面都向下，故他的结论正确；

（2）能．

因为把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，最少两次即可做到将4张牌全部正面都朝下；

（3）能，至少4次．

理由：利用4个奇数的和是偶数，所以翻动的总张数为偶数时，才能使4张牌的牌面都向下；

而每次翻动3张，至少要经过4次这样的操作使4张扑克牌的正面都朝下

10．解：根据③知小刘23岁，结合①知小陈25岁，结合②和③知小李22岁

11．解：若A进入前三强，那么进入前三强的有A、B、C、D、E共5人，显然不合题意，

同理，当B进行前三强时，也不合题意，所以应从C开始进入前三强．即进入前三强的是C，D，E

12．解：①相同；

②可以让老师先告诉9个同学，这样第一个同学还有8分钟时间，可以告诉8个人，第二个得到电话的同学有7分

钟时间，可以告诉7个人，以此类推到第八个得到电话的再告诉一个人，那么通知的总人数就是9+8+7+6+…+2=44

人

13．解：第一个人必胜；

因为是第一个人先说，所以主动权在第一个人，他肯定按2，5，8，11，17，20，报数，故第一个人必胜

14．解：设消防队员向上爬的方向为正、往下退的方向为负，并设这个楼梯共有x级．

根据题意，我们知道这个楼梯的级数是奇数（因为只有奇数级的楼梯正中间才可以站人），

列得：﹣3+7﹣2+8=x﹣1，

整理得：x+1+20=2x﹣2，

解得：x=23，

则梯子共有23级

15．解：至少需要3分钟．方法：先取两张饼烙1分钟，取出其中一张，另一张的反面和新放入的第三张饼烙1分

钟，把烙好的第一张饼取出，剩下两张饼烙反面1分钟

16．解：若苹果在红箱子里⇒（1）（2）正确（3）错误

若苹果在黄箱子里⇒（1）（2）错误（3）正确

若苹果在蓝箱子里⇒（1）错（2）（3）正确

故苹果在黄箱子里

17．解：红色．理由如下：小李看到小王、小张戴红色和黄色帽子，则小李可能戴蓝色或红色帽子，若小李戴蓝色

帽子，则小王必能说出自己帽子颜色为红色，但小王、小张都无法马上说出自己帽子颜色，所以小李的帽子颜色为

红色

18．解：先倒满7斤瓶，再分两次从7斤瓶倒满3斤瓶，3斤瓶每次都倒回10斤瓶，

再将7斤瓶中的1斤倒入3斤瓶中，再将7斤瓶倒满，再将7斤瓶中多余的2斤倒入3斤瓶中，

此时7斤瓶中刚好5斤，最后将3斤中的油倒回10斤瓶中就实现了

19．解：先把羊带过河，再把狼带过河，然后把羊带回去，把青草带过河，最后再回去把羊带过河

20．解：∵站内原有的6辆车全部开出用时为4×（6﹣1）=20分钟．

此时站内又有出租车（20﹣2）÷6+1=4（辆）

设再经过x分钟站内无车．

+4=

x=48

48+20=68（分钟）

答：经过至少68分钟站内无车．就不能正点发车

21．证明：假设这11人中，任意两人买的书相差都大于10本，

则即使第一个人买了一本，则第11个人也买了超过100本，

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而题中说买书最多的人买了100本书，

所以假设不成立，

即这11个学生中必有2人，他们买的书相差不到10本

22．解：（1）如果有50所学校的男选手总数大于或等于全部男选手总数的一半，那就无需证明成立了，

（2）如果有50所学校的男选手总数小于全部男选手总数的一半，那么剩下的49所学校的男选手总数就应该超过

全部男选手总数的一半，

因此，这49所学校的男选手数再任加1所学校的男选手数，其总数也必超过男选手总数的一半，

同样道理，可证参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半

23．解：从贴有一红一白标签的口袋里取出一球，如果是白球，

则由题设可推出这个口袋里的球是两个白球，贴红标签的口袋里必是一红一白，

否则，若是两红，就与标签贴错矛盾，而贴两白标签的口袋里必是两个红球．

如果取出的是红球，类似可以判断

24．解：能．乘车方案如下：

25．解：设第i个运动员为A

i

，得分为a

i

（

i

=1，2，7，8），则a

1

＞a

2

＞…＞a

7

＞a

8

，由于8名选手每人参加7局比

赛，胜的最多者得（7分），

即a

1

≤7，共赛局，总积分为2（8分）

所以a

1

+a

2

+…+a

7

+a

8

=28①

因为每局得分为0，，1三种，

所以只能在{0，，1，1.5，2，2.5，6，6.5，7}中取值，又知a

4

=4.5，a

2

=a

5

+a

6

+a

7

+a

8

②

若a

3

≥5.5，则a

2

≥6，a

1

≥6.5⇒a

1

+a

2

+a

3

≥6.5+6+5.5=18

由①，a

4

+a

5

+a

6

+a

7

+a

8

≤10，但a

4

=4.5，

所以a

5

+a

6

+a

7

+a

8

≤10﹣4.5=5.5这与a

2

≥6矛盾，

故a

3

＜5.5

但a

3

＞a

4

=4.5，

所以a

3

=5

这时a

1

+a

2

+a

5

+a

6

+a

7

+a

8

=28﹣5﹣4.5=18.5

也就是a

1

+2a

2

=18.5

若a

2

=5.5⇒a

1

=18.5﹣11=7.5＞7≥a

1

，这不可能

若a

2

≥6.5⇒a

1

=18.5﹣2a

1

≤18.5﹣13＞5.5＜a

2

，矛盾．

所以，只能a

2

=6

此时a

1

=18.5﹣2×6=6.5

所以，前三名选手得分依次为6.5，6，5

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26．解：把题目所述列成下表：

a

1

a

2

甲 ③

乙 ①

丙

a

3

①

③

a

4

④

②

若a

3

第一（对应①），则a

2

不能在对应①，从而a

4

对应④，那么丙的预测就没有猜中，矛盾；

于是a

2

对应①，a

3

不能对应①，知a

1

对应③，a

4

对应②，从而a

3

只能是第四．

故四个学生的名次依次为a

2

，a

4

，a

1

，a

3

．

27．解：最少可以按5次按钮．

首先按黄色按钮，3个小木偶变成6个小木偶，

再按黄色按钮，6个小木偶变成12个小木偶，

再次按红色按钮，12木偶变成11个小木偶，

接下来按黄色按钮，11小木偶变成22个小木偶，

最后按红色按钮，22个木偶变为21个按钮．

如图所示：

28．解：∵2：50﹣5：00中间3、4、5点各打3+4+5=12下钟，

看书时间就是2：50，当5点后大约5：27分时钟与分钟重合，

∴看完书时是5：27分，

∴看了一共看书时间为：2：50﹣5：27，一共是2小时37分钟．

∴张师傅看了2小时37分钟的书

29．解：∵商店有5只分别装有麻油、豆油、菜油，其中麻油一桶，

∴豆油、菜油各两桶，且麻油重量一定不是60kg，

又∵豆油的公斤数恰好是菜油的两倍，

∴豆油的公斤数至少是（60+60）的2倍，

∴豆油公斤数是：90+150=240，

菜油的公斤数是：120，

∴五只桶分别装的是：60kg菜油，60kg菜油，80kg麻油，90kg豆油，150kg豆油

30．解：如图所示：只需3步就可以达到目的

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