2024年4月17日发(作者：苹果6s尺寸多少厘米)

初三数学培优之： 由中点想到什么

由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；

3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．5.三角形等积

熟悉以下基本图形，基本结论：

例题求解

【例1】 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点， AB=10cm，

则MD的长为 ．

【例2】 如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取

AD、BC的中点M、N，连结MN．则AB与MN的关系是( )

A．AB=MN B．AB>MN C．AB

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB中点，连结CE、

CD，求证：CD=2EC．

【例4】 已知：如图l，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG ⊥ CE，

垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=

1

(AB+BC+AC)．

2

若(1)BD、CF分别是△ABC的内角平分线(如图2)；

(2)BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情

况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给

予证明．

【例5】 如图，任意五边形ABCDE，M、N、P、Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、

L分别为MN、PQ的中点，求证：KL∥AE且KL=

1

AE．

4

学历训练

1．BD、CE是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点，BC=8，则GH= ．

2．如图,△ABC中、BC＝a，若D

1

、E

1

；分别是AB、AC的中点，则

D

1

E

1



a

；若 D

2

、E

2

分别

2

是D

1

B、E

1

C的中点，则

D

2

E

2



1a3

(a)a

：若 D

3

、E

3

分别是D

2

B、E

2

C的中点.则

224

137

D

3

E

3

(aa)a

……若Dn、En分别是D

n-1

B、E

n-1

C的中点，则DnEn= (n≥1

248

且 n为整数).

3．如图，△ABC边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P为∠A的平分线AD上一点，且

BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值是 ．

4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AC=5cm，BD=12cm，则该梯形的中位

线的长等于 cm．

5．如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( )

A．40 B．48 C 50 D．56

6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若AD=6cm，BC=18

㎝，则EF的长为( )

A．8cm D．7cm C． 6cm D．5cm

7．如图，矩形纸片ABCD沿DF折叠后，点C落在AB上的E点，DE、DF三等分∠ADC，AB

的长为6，则梯形ABCD的中位线长为( )

A．不能确定 B．2

3

C．

3

D．

3

+1

8．已知四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连结各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个

命题：

①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；

②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；

③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；

④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；

⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°；

⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD．

以上命题中，正确的是( )

A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④

9．如图，已知△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G为垂足．求证：(1)G

是CE的中点；(2)∠B=2∠BCE．

10．如图，已知在正方形ABCD中，E为DC上一点，连结BE，作CF⊥BE于P，交AD于

F点，若恰好使得AP=AB，求证：E是DC的中点．

11．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD为边作平行四边形ACED，DC的延长线交

BE于F．

(1)求证：EF＝FB；

1

(2)S

△

BCE

能否为S

梯形

ABCD

的?若不能，说明理由；若能，求出AB与CD的关系．

3

12．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=2，

ED=3，GC=4，则△ABC的周长为 ．

13．四边形ADCD的对角线AC、BD相交于点F，M、N分别为AB、CD中点，MN分别交BD、

AC于P、Q，且∠FPQ＝∠FQP，若BD=10，则AC= ．

14．四边形ABCD中，AD>BC，C、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别与EF的

延长线交于H、G，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)

15．如图，在△ABC中，DC=4，BC边上的中线AD=2，AB+AC=3+

7

，则S

△

ABC

等于( )

5537

C．

23

D．

22

16．如图，正方形ABCD中，AB＝8，Q是CD的中点，设∠DAQ=α，在CD上取一点P，使

A．

15

B．

∠BAP＝2α，则CP的长是( ) A．1 D．2 C．3 D．

3

17．如图，已知A为DE的中点，设△DBC、△ABC、△EBC的面积分别为S

1

，S

2

，S

3

，则S

1

、

S

2

、S

3

之间的关系式是( )

A．

S

2



3113

(S

1

S

3

)

B．

S

2

(S

3

S

1

)

C．

S

2

(S

1

S

3

)

D．

S

2

(S

3

S

1

)

2222

18．如图，已知在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到E、F，使DE=DF，过E、

F分别作CA、CB的垂线，相交于点P．求证：∠PAE=∠PBF．

19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，试判断AB+CD与AD+BC的大小，并证明

你的结论．

20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE，设

M为D正的中点．

(1)求证：MB=MC；

(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试

问：MB；MC是否还能成立?并证明其结论．

21．如图甲，平行四边形ABCD外有一条直线MN，过A、B、C、D4个顶点分别作MN的垂

线AA

1

、BB

1

、CC

l

、DD

l

，垂足分别为A

l

、B

1

、C

l

、D

1

．

(1)求证AA

1

+ CC

l

= BB

1

+DD

l

；

(2)如图乙，直线MN向上移动，使点A与点B、C、D位于直线MN两侧，这时过A、B、C、

D向直线MN引垂线，垂足分别为A

l

、B

1

、C

l

、D

1

，那么AA

1

、BB

1

、CC

l

、DD

l

之间存在什么

关系?

(3)如图丙，如果将MN再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A、B、C、D向直线

MN引垂线，垂足分别为A

l

、B

1

、C

l

、D

1

，那么AA

1

、BB

1

、CC

l

、DD

1

之间又存在什么关系?