2024年4月6日发(作者：google网址直接打开)
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第四章参数的最小二乘法估计
第四章参数的最小二乘法估计 第四章 最小二乘法与组合测量 1 概述 最小
二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。
对于从事精密科学实验的人们来说， 应用最小乘法来解决一些实际问题， 仍是目前
必不可少的手段。
例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果， 就是依据了使残差的平方和
为最小的原则， 又如， 在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。
另外， 常遇到用实验方法来拟合经验公式， 这是后面一章回归分析方法的内容， 它
也是以最小二乘法原理为基础。
最小二乘法的发展已经经历了 200 多年的历史， 它最先起源于天文和大地测量
的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用， 特别是近代矩阵理论与电子计算机相结
合， 使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。
本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用， 一些深入的
内容可参阅专门的书籍和文献。
2 最小二乘法原理 最小二乘法的产生是为了 解决从一组测量值中寻求最可
信赖值的问题。
对某量 x 测量一组数据 x1, x2, , xn， 假设数据中不存在系统误差和粗大误差，
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相互独立， 服从正态分布， 它们的标准偏差依次为：
1, 2, n 记最可信赖值为， 相应的残差 vi xi 。
测值落入(xi, xi dx) 的概率。
vi21Pi exp( 2) dx 2 i i2 根据概率乘法定理， 测量 x1, x2, , xn 同时出
现的概率为 P Pi vi211n exp[ () ](dx) n2ii i() 显然， 最可信赖值应使出
现的概率 P 为最大， 即使上式中页指数中的因子达最小， 即 ivi22 i Min 2
o1 权因子：
wi 2 即权因子 wi2， 则 i i 2[wvv] wvii Min 再用微分法， 得最可信
赖值 wxi 1 nii 即加权算术平均值 w i 1i 这里为了 与概率符号
区别， 以 i 表示权因子。
特别是等权测量条件下， 有：
[vv] vi2 Min 以上最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最
小的意义下求得的， 称之为最小二乘法原理。
它是以最小二乘方而得名。
为从一组测量数据中求得最佳结果， 还可使用其它原理。
例如 （1） 最小绝对残差和法：
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