2024年3月29日发(作者：attracted)

湖南名师联盟2024届高三下第一次质量检测试题数学试题

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若

alog

4

15.9

，

b2

1.01

，

c0.4

0.1

，则（

）

A

．

cab

C

．

bac

B

．

abc

D

．

acb

2．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为

1

的等腰直角三角形和边长为

1

的正方形，则该几何体中最长的棱长

为（

）．

A

．

2

B

．

3

C

．

1 D

．

6

3．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：

“

今有鳖臑

(

biē naò

)

，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺

.

问积

几何？

”

该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为

( )

A

．

90



平方尺

C

．

360



平方尺

B

．

180



平方尺

D

．

13510



平方尺

4．已知函数

f(x)asin3xab(a0,xR)

的值域为

[5,3]

，函数

g(x)bcosax

，则

g(x)

的图象的对称

中心为（

）

A

．





k





,5



(kZ)



4



B

．





k





,5



(kZ)

8



4



C

．





k





,4



(kZ)



5



D

．





k





,4



(kZ)



510



5．

5G

网络是一种先进的高频传输技术，我国的

5G

技术发展迅速，已位居世界前列

.

华为公司

2019

年

8

月初推出了

一款

5G

手机，现调查得到该款

5G

手机上市时间

x

和市场占有率

y

（单位：

%

）的几组相关对应数据

.

如图所示的折

线图中，横轴

1

代表

2019

年

8

月，

2

代表

2019

年

9

月

……

，

5

代表

2019

年

12

月，根据数据得出

y

关于

x

的线性回归

方程为

y0.042xa

.

若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款

5G

手机市场占有率

能超过

0.5%

（精确到月）（

）

A

．

2020

年

6

月

B

．

2020

年

7

月

C

．

2020

年

8

月

D

．

2020

年

9

月

6．中国铁路总公司相关负责人表示，到

2018

年底，全国铁路营业里程达到

13.1

万公里，其中高铁营业里程

2.9

万公

里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是

2014

年到

2018

年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以

下结论不正确的是（

）

A

．每相邻两年相比较，

2014

年到

2015

年铁路运营里程增加最显著

B

．从

2014

年到

2018

年这

5

年，高铁运营里程与年价正相关

C

．

2018

年高铁运营里程比

2014

年高铁运营里程增长

80%

以上

D

．从

2014

年到

2018

年这

5

年，高铁运营里程数依次成等差数列



x2y10



7．已知实数

x

、

y

满足不等式组



2xy10

，则

z3xy

的最大值为（ ）



y0



A

．

3

B

．

2

C

．



3

2

D

．

2

x

2

2

8．若双曲线

2

y

2

1



a0



的一条渐近线与圆

x

2





y2



2

至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围

a

是（

）

A

．





2,



B

．



2,



C

．

1,2







D

．



1,2



nn

9．设



，



是方程

x

2

x10

的两个不等实数根，记

a

n









（

nN



）

.

下列两个命题（

）

①数列



a

n



的任意一项都是正整数；

②数列



a

n



存在某一项是

5

的倍数

.

A

．①正确，②错误

C

．①②都正确

7

B

．①错误，②正确

D

．①②都错误

1



x3



10．二项式







展开式中，项的系数为（

）

x



2x



A

．



945

16

B

．



189

32

C

．



21

64

D

．

2835

8

11．根据党中央关于

“

精准

”

脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位

专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）

A

．

1

6

2

B

．

1

4

C

．

1

3

D

．

1

2

12．已知抛物线

C:y4x

和点

D



2,0



，直线

xty2

与抛物线

C

交于不同两点

A

，

B

，直线

BD

与抛物线

C

交于

另一点

E

．给出以下判断：

①直线

OB

与直线

OE

的斜率乘积为

2

；

②

AE//y

轴；

③以

BE

为直径的圆与抛物线准线相切

.

其中，所有正确判断的序号是（

）

A

．①②③

B

．①②

C

．①③

D

．②③

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2



13．若

ax



x



展开式中的常数项为

240

，则实数

a

的值为

________.

x





ex

,x2





e

x

22

14．已知函数

f



x







，（其中

e

为自然对数的底数），若关于

x

的方程

f



x



3af



x



2a0

恰



4x8

,x2





5x

有

5

个相异的实根，则实数

a

的取值范围为

________.

15．

(

x

＋

y

)(2

x

－

y

)

5

的展开式中

x

3

y

3

的系数为

________.

16．在平面直角坐标系中，已知，若圆上有且仅有四个不同的点

C

，使得

△ABC

的面

5

积为

5

，则实数

a

的取值范围是

____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在正四棱锥

P﹣ABCD

中，底面正方形的对角线

AC,BD

交于点

O

且

OP＝AB．

1

2

（

1

）求直线

BP

与平面

PCD

所成角的正弦值；

（

2

）求锐二面角

BPDC

的大小．

18．（12分）已知函数

f



x



xxa

.

（

1

）当

a2

时，求不等式

f



x



4

的解集；

（

2

）若

f



x



1

对任意

xR

成立，求实数

a

的取值范围

.



3



x

2

y

2

3

1,

19．（12分）已知椭圆

C:

2



2

1(ab0)

的离心率为，点

P



在椭圆上

.





2

ab

2



（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线

ykxm

交椭圆

C

于

A,B

两点，线段

AB

的中点

M

在直线

x1

上，求证：线段

AB

的中垂线恒过定

点

.

20．（12分）已知函数

f



x



x1

.

（

1

）解不等式

f



x



f



x4



8

；

（

2

）若

a1

，

b1

，

a0

，求证：

f



ab



af





b





.

a



x

2

y

2

3

21．（12分）已知椭圆

C

：

2



2

1

（

ab0

）的离心率为，且椭圆

C

的一个焦点与抛物线

y

2

43x

的

ab

2

焦点重合

.

过点

E(1,0)

的直线

l

交椭圆

C

于

M



x

1

,y

1



，

N



x

2

,y

2



两点，

O

为坐标原点

.

（

1

）若直线

l

过椭圆

C

的上顶点，求

MON

的面积；

（

2

）若

A

，

B

分别为椭圆

C

的左、右顶点，直线

MA

，

NB

，

MB

的斜率分别为

k

1

，

k

2

，

k

3

，求

k

3



k

1

k

2



的值

.

22．（10分）已知函数

f



x



e

2x





e

x

cosx1





R



，直线

l

是曲线

yf



x



在

x0

处的切线．

（

1

）求证：无论实数



取何值，直线

l

恒过定点，并求出该定点的坐标；

（

2

）若直线

l

经过点



1,6



，试判断函数

f



x



的零点个数并证明．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

C

【解题分析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较

a

、

b

、

c

三个数与

1

和

2

的大小关系，进而可得出

a

、

b

、

c

三个数的大小关

系

.

【题目详解】

对数函数

ylog

4

x

为



0,





上的增函数，则

1log

4

4log

4

15.9log

4

162

，即

1a2

；

指数函数

y2

为

R

上的增函数，则

b2

1.01

2

1

2

；

指数函数

y0.4

为

R

上的减函数，则

c0.4

0.1

0.4

0

1

.

综上所述，

bac

.

故选：

C.

【题目点拨】

本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，

x

x

属于基础题

.

2．

B

【解题分析】

首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．

【题目详解】

解：根据三视图还原几何体如图所示，

所以，该四棱锥体的最长的棱长为

l1

2

1

2

1

2

3

．

故选：

B

．

【题目点拨】

本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．

3．

A

【解题分析】

根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外

接球，由球的表面积公式计算可得选项

.

【题目详解】

由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥

PABC

，

O

为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此

三棱锥所在的长方体的外接球，所以

O

为

PC

的中点，

设球半径为

R

，则

45

145



1



1

2

90



，

,

所以外接球的表面积

S4



R4





R



PC



AB

2

+BC

2

PA

2

4

2

+5

2

+7

2



2

442



2



2

2



故选：

A

．

【题目点拨】

本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半

径，属于中档题

.

4．

B

【解题分析】

由值域为

[5,3]

确定

a,b

的值，得

g(x)5cos4x

，利用对称中心列方程求解即可

【题目详解】

因为

f(x)[b,2ab]

，又依题意知

f(x)

的值域为

[5,3]

，所以

2ab3

得

a4

，

b5

，

所以

g(x)5cos4x

，令

4xk







2

(kZ)

，得

x

k



(kZ)

，则

g(x)

的图象的对称中心为

48



k





,5



(kZ)

.

48



故选：

B

【题目点拨】

本题考查三角函数

的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为

0

5．

C

【解题分析】

根据图形，计算出

x,y

，然后解不等式即可

.

【题目详解】

解：

x

1

1

(12345)3

，

y(0.020.050.10.150.18)0.1

5

5

ˆ

0.042xa

ˆ

上

点



3,0.1



在直线

y

ˆ

，

a

ˆ

0.026

0.10.0423a

ˆ

0.042x0.026

y

ˆ

0.042x0.0260.5

令

y

x13

因为横轴

1

代表

2019

年

8

月，所以横轴

13

代表

2020

年

8

月，

故选：

C

【题目点拨】

考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题

.

6．

D

【解题分析】

由折线图逐项分析即可求解

【题目详解】

选项

A

，

B

显然正确；

对于

C

，

2.91.6

0.8

，选项

C

正确；

1.6

1.6,1.9,2.2,2.5,2.9

不是等差数列，故

D

错

.

故选：

D

【题目点拨】

本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识

,

是基础题

7．

A

【解题分析】

画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．

【题目详解】



x2y10



画出不等式组



2xy10

所表示平面区域，如图所示，



y0



由目标函数

z3xy

，化为直线

y3xz

，当直线

y3xz

过点

A

时，

此时直线

y3xz

在

y

轴上的截距最大，目标函数取得最大值，



x2y10

又由



，解得

A(1,0)

，



y0

所以目标函数的最大值为

z3(1)03

，故选

A

．

【题目点拨】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用

“

一画、二移、

三求

”

，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

8．

C

【解题分析】

求得双曲线的渐近线方程，可得圆心



0,2



到渐近线的距离

d

率公式计算即可得到所求范围．

【题目详解】

2

，由点到直线的距离公式可得

a

的范围，再由离心

1

x

2

双曲线

2

y

2

1



a0



的一条渐近线为

yx

，即

xay0

，

a

a

2

由题意知，直线

xay0

与圆

x

2





y2



2

相切或相离，则

d

2a

1a

2

2

，

c



1



解得

a1

，因此，双曲线的离心率

e1



1,2



.



a



a



2



故选：

C.

【题目点拨】

本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

9．

A

【解题分析】

nn

利用韦达定理可得







1

,



1

,

结合

a

n









可推出

a

n1

a

n

a

n1

,

再计算出

a

1

1

,

a

2

3

,

从而推出①

正确

;

再利用递推公式依次计算数列中的各项

,

以此判断②的正误

.

【题目详解】

因为



,



是方程

x

2

x10

的两个不等实数根

,

所以







1

,



1

,

nn

因为

a

n









,

n1n1

所以

a

n1















n





n











n





n









n







n









n





n





















n1





n1









n





n









n1





n1



a

n

a

n1

,

即当

n3

时

,

数列



a

n



中的任一项都等于其前两项之和

,

又

a

1









1

,

a

2





2





2













2



3

,

所以

a

3

a

2

a

1

4

,

a

4

a

3

a

2

7

,

a

5

a

4

a

3

11

,

以此类推

,

即可知数列



a

n



的任意一项都是正整数

,

故①正确

;

若数列



a

n



存在某一项是

5

的倍数

,

则此项个位数字应当为

0

或

5,

由

a

1

1

,

a

2

3

,

依次计算可知

,

数列



a

n



中各项的个位数字以

1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2

为周期

,

故数列



a

n



中不存在个位数字为

0

或

5

的项

,

故②错误

;

故选

:A.

【题目点拨】

本题主要考查数列递推公式的推导

,

考查数列性质的应用

,

考查学生的综合分析以及计算能力

.

10．

D

【解题分析】

写出二项式的通项公式

,

再分析

x

的系数求解即可

.

【题目详解】

2



x3



r



x



二项式







展开式的通项为

T

r1

C

7





2x



2



4



1



数为

C

7





2



74

77r



3



r



1



C

7





x



2



r7r

1

(3)

r

x

72r

,

令

72r1

,

得

r4

,

故项的系

x

(3)

4



2835

.

8

故选：

D

【题目点拨】

本题主要考查了二项式定理的运算

,

属于基础题

.

11．

A

【解题分析】

每个县区至少派一位专家，基本事件总数

n36

，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数

m6

，由此

能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率

.

【题目详解】

派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家

23

基本事件总数：

nC

4

A

3

36

212

甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：

mC

2

C

3

A

2

6



甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：

p

本题正确选项：

A

【题目点拨】

m61



n366

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题

.

12．

B

【解题分析】

由题意，可设直线

DE

的方程为

xmy2

，利用韦达定理判断第一个结论；将

xty2

代入抛物线

C

的方程可得，

y

A

y

1

8

，从而，

y

A

y

2

，进而判断第二个结论；设

F

为抛物线

C

的焦点，以线段

BE

为直径的圆为

M

，则圆心

M

为线段

BE

的中点．设

B

，

E

到准线的距离分别为

d

1

，

d

2

，

M

的半径为

R

，点

M

到准线的距离为

d

，显然

B

，

E

，

F

三点不共线，进而判断第三个结论

.

【题目详解】

解：由题意，可设直线

DE

的方程为

xmy2

，

代入抛物线

C

的方程，有

y4my80

．

设点

B

，

E

的坐标分别为



x

1

,y

1



，



x

2

,y

2



，

则

y

1

y

2

4m

，

y

1

y

2

8

．

所

x

1

x

2





my

1

2



my

2

2



my

1

y

2

2m



y

1

y

2



44

．

2

2

y

1

y

2

2

．所以①正确．

则直线

OB

与直线

OE

的斜率乘积为

x

1

x

2

将

xty2

代入抛物线

C

的方程可得，

y

A

y

1

8

，从而，

y

A

y

2

，

根据抛物线的对称性可知，

A

，

E

两点关于

x

轴对称，

所以直线

AE//y

轴．所以②正确．

如图，设

F

为抛物线

C

的焦点，以线段

BE

为直径的圆为

M

，

则圆心

M

为线段

BE

的中点．设

B

，

E

到准线的距离分别为

d

1

，

d

2

，

M

的半径为

R

，点

M

到准线的距离为

d

，