2024年3月8日发(作者：黑莓9360)

全称量词与存在量词〔2〕〔教学设计〕

1.4.3含有一个量词的命题的否认

教学目的

知识与技能目的

〔1〕通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否认在形式上的变化规律．

〔2〕通过例题和习题的教学，使学生可以根据含有一个量词的命题与它们的否认在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进展否认．

过程与方法目的

使学生体会从详细到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的才能．

情感态度价值观

通过学生的举例，培养他们的辨析才能以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进展辩证唯物主义思想教育．

教学重点与难点

教学重点：通过探究，理解含有一个量词的命题与它们的否认在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进展否认．

教学难点：正确地对含有一个量词的命题进展否认．

教学过程：

一、复习回忆、创设情境

数学命题中出现“全部〞、“所有〞、“一切〞、“任何〞、“任意〞、“每一个〞等与“存在着〞、“有〞、“有些〞、“某个〞、“至少有一个〞等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词〔用符号分别记为“

〞与“〞来表示〕；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否认形式是我们困惑的症结所在。

二、师生互动、讲解新课

问题1〔课本P24探究〕：指出以下命题的形式，写出以下命题的否认。

〔1〕所有的矩形都是平行四边形；

〔2〕每一个素数都是奇数；

〔3〕xR，x2-2x+1≥0

分析：〔1〕xM,p(x)，否认：存在一个矩形不是平行四边形；xM,p(x)

〔2〕xM,p(x)，否认：存在一个素数不是奇数；xM,p(x)

〔3〕xM,p(x)，否认：xR，x2-2x+1<0；xM,p(x)

这些命题和它们的否认在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否认都变成了存在性命题.

问题2：写出命题的否认

2〔1〕p：

x∈R，x＋2x+2≤0；

〔2〕p：有的三角形是等边三角形；

〔3〕p：有些函数没有反函数；

〔4〕p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：〔1〕 xR，x2＋2x+2>0；

〔2〕任何三角形都不是等边三角形；

〔3〕任何函数都有反函数；

〔4〕对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：U(AB)UAUB,U(AB)UAUB

1.全称命题、存在性命题的否认

一般地，全称命题P： xM,有P〔x〕成立；其否认命题┓P为：x∈M,使P〔x〕不成立。存在性命题P：xM，使P〔x〕成立；其否认命题┓P为： xM,有P〔x〕不成立。

用符号语言表示：

P:M, p(x〕否认为 P: M,  P〔x〕

P:M, p(x〕否认为 P: M,  P〔x〕

在详细操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用

范围进展否认。即须遵循下面法那么：否认全称得存在，否认存在得全称，否认肯定得否认，否认否认得肯定.

2.关键量词的否认

词语

词语的否认

词语

是 一定是 都是 大于 小于 p且q P或q

不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于

p或q

p且q

所有x不成所有x成立

立

至多有一必有一个 至少有n个

个

词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个认 有 个 个 成立 成立

例1 写出以下全称命题的否认：

〔1〕p：所有人都晨练；

〔2〕p：xR，x2＋x+1>0；

〔3〕p：平行四边形的对边相等；

2〔4〕p：

x∈R，x－x+1＝0；

解：〔1〕 P：有的人不晨练；〔2〕 x∈R，x2＋x+1≤0；〔3〕存在平行四边形，它的的对边不相等；〔4〕xR，x2－x+1≠0；

例2〔课本P24-25例3和例4〕：判断以下命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否认：

（１） p：所有能被3整除的整数都是奇数；

（２） p：每一个四边形的四个顶点共圆；

2（３） p：对x∈Z，x个位数字不等于3；

2（４） p： x∈R, x＋2x＋2≤0；

（５） p：有的三角形是等边三角形；

（６） p：有一个素数含三个正因数。

课堂练习：〔课本P26练习NO：1；2〕

例3写出以下命题的否认。

〔1〕 所有自然数的平方是正数。

〔2〕 任何实数x都是方程5x-12=0的根。

〔3〕 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.

〔4〕 有些质数是奇数。

解：〔1〕的否认：有些自然数的平方不是正数。

〔2〕的否认：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

〔3〕的否认：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

〔4〕的否认：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意〞等量词的简化形式，如“假设x＞3，那么x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完好形式，再根据法那么来写出其否认形式。

例4 写出以下命题的否认。

〔1〕 假设x2＞4 那么x＞2.。

〔2〕 假设m≥0,那么x2+x-m=0有实数根。

〔3〕 可以被5整除的整数，末位是0。

〔4〕 被8整除的数能被4整除。

〔5〕 假设一个四边形是正方形，那么它的四条边相等。

解〔1〕否认：存在实数x0，虽然满足x0＞4，但x0≤2。或者说：存在小于或等于2的数x0，满足x0＞4。〔完好表达为对任意的实数x, 假设x2＞4 那么x＞2〕

〔2〕否认：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x0+

x0-m=0无实数根。〔原意表达：对任意实数m,假设m≥0,那么x2+x-m=0有实数根。〕

222

〔3〕否认：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

〔4〕否认：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

〔5〕否认：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。〔原意表达为无论哪个四边形，假设它是正方形，那么它的四条边中任何两条都相等。〕

例5 写出以下命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

〔1〕p：假设x＞y,那么5x＞5y；

〔2〕p：假设x2+x﹤2,那么x2-x﹤2；

〔3〕p：正方形的四条边相等；

〔4〕p：a,b为实数，假设x2+ax+b≤0有非空实解集，那么a2-4b≥0。

解：〔1〕 P：假设 x＞y，那么5x≤5y； 假命题

否命题：假设x≤y，那么5x≤5y；真命题

〔2〕 P：假设x2+x﹤2，那么x2-x≥2；真命题

否命题：假设x2+x≥2，那么x2-x≥2〕；假命题。

〔3〕 P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：假设一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等。假命题。

〔4〕 P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

否命题：a,b为实数，假设x2+ax+b≤0没有非空实解集，那么a2-4b﹤0。真命题。

例6：〔1〕命题“xR，x2-x+3>0”的否认是 〔答： xR，x2-x+3≤0〕

〔2〕“末位数字是0或5的整数能被5整除〞的

否认形式是

否命题是

〔答：否认形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除

否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除〕

例7：写出以下命题的否认，并判断其真假：

2〔1〕p：m∈R，方程x+x-m=0必有实根；

〔2〕q：R，使得x2+x+1≤0；

2解：〔1〕p：m∈R，方程x+x-m=0无实根；真命题。

〔2〕q：R，使得x2+x+1>0；真命题。

例8．写出以下命题的“非P〞命题，并判断其真假：

〔1〕假设m>1，那么方程x2-2x+m=0有实数根．

〔2〕平方和为0的两个实数都为0．

〔3〕假设ABC是锐角三角形， 那么ABC的任何一个内角是锐角．

〔4〕假设abc=0，那么a,b,c中至少有一为0．

〔5〕假设(x-1)(x-2)=0 ，那么x≠1,x≠2．

解： ⑴ 假设m>1，那么方程x-2x+m=0无实数根，(真)；

⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；

⑶假设ABC是锐角三角形， 那么ABC的任何一个内角不都是锐角(假)；

⑷假设abc=0，那么a,b,c中没有一个为0(假)；

⑸假设(x-1)(x-2)=0，那么x1 或x2，(真)．

评注：命题的否认与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否认，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“假设P那么q〞提出来的。

2．命题的否认〔非〕是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3． 原命题“假设P那么q〞 的形式，它的非命题“假设p，那么q〞；而它的否命题为 “假设┓p，那么┓q〞，既否认条件又否认结论。

三、课堂小结、回忆反思

在教学中，务必理清各类型命题形式构造、性质关系，才能真正准确地完好地表达出命题的否认，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，到达培养和开展学生的逻辑思维才能。

2

四、布置作业：

A组：

1、〔课本P26习题1.4A组 NO：3〕

2、〔课本P26习题1.4B组 NO：1〕

23．命题p：存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根，那么“非p〞形式的命题是〔B 〕

2A.存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0无实根；

2B.不存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；

2C.对任意的实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；

2D.至多有一个实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；

4.【2022高考安徽文4】命题“存在实数x，使x > 1”的否认是〔C〕

〔A〕对任意实数x, 都有x>1 〔B〕不存在实数x，使x1

〔C〕对任意实数x, 都有x1 〔D〕存在实数x，使x1

5.【2022高考辽宁文5】命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≥0，那么p是〔C〕

(A)

x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0

(B)

x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0

(C)

x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0

(D)

x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0

6.【2022高考湖北文4】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数〞的否认是〔B〕

A.任意一个有理数，它的平方是有理数

B.任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

【答案】B

7．(2022辽宁文)命题P：n∈N，2n＞1000，那么p为〔D〕

〔A〕n∈N，2n≤1000 〔B〕n∈N，2n＞1000

〔C〕n∈N，2n≤1000 〔D〕n∈N，2n＜1000

8．(2022安徽理)命题“所有能被2整除的数都是偶数〞的否认是〔D〕

．．〔A〕所有不能被2整除的数都是偶数

〔B〕所有能被2整除的数都不是偶数

〔C〕存在一个不能被2整除的数是偶数

〔D〕存在一个能被2整除的数不是偶数

9. 〔2022浙江文〕假设函数f(x)x2a(aR)，那么以下结论正确的选项是〔C 〕

xA．aR，f(x)在(0,)上是增函数

B．aR，f(x)在(0,)上是减函数

C．aR，f(x)是偶函数

D．aR，f(x)是奇函数

C 【命题意图】此题主要考察了全称量词与存在量词的概念和根底知识，通过对量词的考察结合函数的性质进展了交

汇设问．

【解析】对于a0时有fxx2是一个偶函数

10. 〔2022辽宁卷文〕以下4个命题

11p1:x(0,),()x()x

p2:x(0,1),㏒1/2x>㏒1/3x

23111p3:x(0,),()x㏒1/2x

p4:x(0,),()x㏒1/3x

232

其中的真命题是

〔A〕p1,p3 〔 B〕p1,p4 〔C〕p2,p3 〔D〕p2,p4

【解析】取x＝,那么㏒1/2x＝1,㏒1/3x＝log32＜1,p2正确

12 当x∈(0,【答案】D

13)时,()＜1,而㏒1/3x＞1.p4正确

12x11. 〔2022天津卷理〕命题“存在x0R，2xx00”的否认是〔D〕

〔A〕不存在x0R,

20>0 〔B〕存在x0R,

2x00

xx〔C〕对任意的xR,

20 〔D〕对任意的xR,

2>0

【考点定位】本小考察四种命题的改写，根底题。

解析：由题否认即“不存在x0R，使2x00〞，应选择D。

12．〔2022湖南文数〕2. 以下命题中的假命题是〔C〕

．．．A.

xR,lgx0 B.

xR,tanx1

C.

xR,x30 D.

xR,2x0

【答案】C

【解析】对于C选项x＝1时，x1=0，应选C

2