2024年2月12日发(作者：联想笔记本进入bios设置按哪个键)

一、选择题

*1. 设S={a,b}，则S上总共可定义的二元运算的个数是（）

A.4 B.8 C.16 D.32

2. 设集合A={1,2,3,…,10}，下面定义的哪种运算关于集合A是不封闭的？（）

A. x*y=max{x,y}

B. x*y=min{x,y}

C. x*y=GCD(x,y)，即x，y的最大公约数

D. x*y=LCM(x,y)，即x，y的最小公倍数

3. 在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）

A.a*b=a-b B.a*b=max{a,b} C.a*b=a+2b D.a*b=|a-b|

4. 对自然数集N，下列哪种运算不是可结合的？（）

A.a*b=a+b+3 B.a*b=min{a,b} C.a*b=a+2b D.a*b=ab(mod 3)

5. 下列运算中，哪种运算关于整数集不能构成半群？（）

A.aοb=max{a,b} B.aοb=b

C.aοb=2ab D.aοb=|a-b|

6.*运算如下表所示，哪个能使({a,b},*)成为独异点？（）

7. Q是有理数，(Q,*)（其中*为普通乘法）不能构成（）

A.群 B.独异点 C.半群 D.交换半群

8. R为实数集，运算*定义为：a,bR，a*b=a|b|，则代数系统(R,*)是（）

A.半群 B.独异点 C.群 D.阿贝尔群

*9. 下列代数系统(S,*)中，哪个是群？（）

A. S={0,1,3,5}，*是模7的加法

B. S=Q(有理数集合)，*是一般乘法

C. S=Z(整数集合)，*是一般乘法

D. S={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法

10. 具有如下定义的代数系统(G,*)，哪个不够成群？（）

A. G={1,10}，*是模11的乘法

B. G={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法

C. G=Q，*是普通加法

D. G=Q，*是普通乘法

*11. 设x，y是群（G,*）的任意两个元素，n是大于0的整数，xn表示n个x进行乘法运算，则下述等式中哪个不成立？（）

A.(x*y)n=xn*yn

B.(x*y)n+1=x*(y*x) n*y

C.y*(x*y) n*y =(y*x) n*y

D. (x*y) n*x= x*(y*x) n

*12. 任何一个有限群在同构的意义下可以看作是（）

A.循环群 B.置换群 C.交换群 D.阿贝尔群

13. 设H，K是群(G,ο)的子群，下面哪个代数系统仍是(G,ο)的子群？（）

A.(HK,ο) B.(H∩K,ο) C.(K-H,ο) D.(H-K,ο)

14. 任意一个具有多个等幂元的半群，它（）。

A.不能构成群 B.不一定能构成群

C.必能构成群 D.能构成交换群

*15. 设Z是整数集合，+是一般加法，则下述函数中哪一个不是群(Z,+)的自同态？（）

A.f(x)=2x B.f(x)=1000x C.f(x)=|x| D.f(x)=0

16. 群(R,+)与(R-{0},×)之间的关系是（）

A.同态 B.同构 C.后者是前者的子群 D.B，C均正确

17. 若(H,*)是(G,*)的真子群，且|H|=n，|G|=m，则有（）

A.n整除m B.m整除n

C.n整除m且m整除n D.n不整除m且m不整除n

*18. 6阶群的任何非平凡子群一定不是（）

A.2阶 B.3阶 C.4阶 D.6阶

19. 设Z是整数集，+，，分别是普通加法和乘法，则(Z,+,)是（）

A.域 B.整环和域 C.整环 D.含零因子环

20. 下面哪个集合关于指定的运算构成环？（）

A.{a+b2|a,bZ}，关于数的加法和乘法

B.{n阶实数矩阵}，关于矩阵的加法和乘法

C.{a+b2|a,bZ}，关于数的加法和乘法

3

*21.+,为一般的加法和乘法，则下述代数系统中哪一个是整环？（）

A. S={x|x=a+b3，a,bQ}

B. S={x|xZ且|x|有非1因子}∪{1}

C. S={x|x=2n,nZ}

D. S={x|x=2n+1,nZ}

22. 在代数系统中，整环和域的关系为（）

A.整环一定是域 B.域不一定是整环

C.域一定是整环 D.域一定不是整环

二、填空题

*1. 集合A={a,b,c}上总共可定义的二元运算的个数为 。

2. 设S是非空有限集，代数系统(P(A),∪,∩)中，P(S)对∪运算的单位元是

① ，零元是 ② ，P(S)对∩运算的单位

* a b c

元是 ③ 。

a a b c

3. 设(S,*)是代数系统，其中S={a,b,c},*定义如表所示，则(S,*) ①

b b a a

半群，(S,*) ② 独异点，因为 ③ 。

c c a a

4. 在运算表中空白处填入适当符号，使({a,b,c},ο)成为群。

ο

a b c

5. (G,*)是群，BG，且B是有限集，(B,*)是G的子群

a

①

a

②

当且仅当 。

b a b c

1c

③

c

④

6. 设(G,*)是非零实数乘法群，f：GG是同态映射，f(x)=x，则f(G)=

① ，Ker(f)= ② 。

7. 设H={0,4,8}，(H,+12)是群(N12,+12)的子群，其中N12={0,1,2,…,11}，+12是模12加法，则(N12,+12)有 ① 个真子群，H的左陪集3H= ② ，4H=

③ 。

8. 任意一个无限群有 个子群。

9. 设G={1,5,7,11}，(G,*)为群，其中*为模12乘法，则5的阶（周期）为 ① ，(G,*)有 ② 个真子群。

三、判断题

1. 设(N,*)是代数系统，其中N为自然数集，*为二元运算，定义为：对任何的a,bN，有a*b=a，则*是可结合的。（）

2. 在一个代数系统中，若一个元素的逆元是惟一的，则运算必定是可结合的。（）

3. 设*是S上的可结合运算，若aS是可逆的，则a也是可约的。（）

4. 设*是S上的可结合运算，若aS是可约的，则a也是可逆的。（）

5. 设(A,ο,*)是一个代数系统，对于任意的a,bA，有aοb=a，而*是A上的任意二元运算，则*对ο不一定是可分配的。（）

abba|a,bZ}，关于矩阵的加法和乘法 D.{

*6. 若半群有左单位元，则左单位元惟一。（）

7. (S,*)是独异点，a,bS，且a,b均有逆元，则(a*b)-1=a-1*b-1。（）

8. (S,*)是可交换独异点，T={x|xS,x*x=x}，则T也是独异点。（）

9. 有单位元且适合消去律的有限半群一定是群。（）

10. (G,*)是独异点，e是单位元，若对任意的aG，有a*a=e，则(G,*)是Abel群。（）

11. 设(G,*)是一个半群，若存在单位元且每个元素都有右逆元，则(G,*)是群。（）

12. 一个群可以有多个等幂元。（）

13. 任何一个Abel群不一定是循环群。（）

mn14. 设G={23|m,nZ},×是普通乘法，则(G,×)不一定是群。（）

15. 设G是循环群，G同构于H，则H也是循环群。（）

*16. 非循环群的每一个子群必是非循环群。（）

*17. 4阶群中必有4阶元。（）

*18. 若H，K是群G的子群，则H∪K也是G的子群。（）

19. 设(G,+)是一个交换群，E是G的全体自同态构成的集合，对f,gE，令(f+g)(x)=f(x)+g(x)，xG，则(E,+)不是一个交换群。（）

20. 任一群都同构于变换群。（）

-121. 设G是一群，令f(x)=x，对任一xG，f是G的自同构当且仅当G是交换群。（）

*22. f是群G到群H的同态映射，若G是交换群，则H也是交换群。（）

23. 在代数系统中域一定是整环。（）

24. 设A=

ab2baa,bZ ，则A关于矩阵的加法和乘法构成一整环。（）