2023年12月11日发(作者：competitor)

Z005年第3期总第Z76期

文章编号!1004-718Z

Z005

03-0037-06导弹与航天运载技术MISSILESANDSPACEVEHICLESNO.3Z005SumNO.Z76左截尾双参数指数分布的可靠性评估"!#周源泉19刘文生Z9田胜利3

1.北京航天强度与环境研究所 北京

100076

Z.中国运载火箭技术研究院 北京

100076

3.北京精密机电控制设计研究所 北京

100076

摘要!对左截尾双参数指数分布9给出了其分布参数 位置参数H9尺度参数O 9可靠性测度 失效率A9平均失效前时间 可靠寿命tR9可靠度R 的UMVUE9MTTF

M9t

Bayes估计与经典精确限9还给出了MTTF高精度的经典近似限9最后用数值例说明了这些方法GBayes精确可信限9关键词!可靠性工程3可靠性评估3左截尾双参数指数分布中图分类号!TB114.3文献标识码!AReliabilityAssessmentOfLeftTruncatedTWO-parameterExPOnentialDistributiOn"!#ZhOuYuanCuan19LiuWenshengZ9TianShengli3

ingAerOspaceInstituteOfStructureandEnvirOnmentalEngineering

Bei

ing

100076

cademyOfLaunchVehicleTechnOlOgy

Bei

ing

100076

ingInstituteOfPreciseMechatrOnicCOntrOl

Bei

ing

100076

Abstract!Inthispaper9theUMVUE9theBayesianestimatiOnandtheexactclassicallimits9theexactBayesiancrediblelimitsOfthedistributiOnparameters

lOcatiOnparameterH9scalepa-rameterG

andthereliabilitymeasurements

failurerateX9meantimetOfailure

MTTF

M9relia-bilitylifetR9 9reliabilityR

t

andthehighprecisiOnapprOximateclassicallimitsOfMTTFOftds!Reliabilityengineering3Reliabilityassessment3LefttruncatedtWO-parameterex-pOnentialdistributiOn6可靠度R"t#的Bayes及经典下限由于左截尾双参数分布与双参数分布可靠性的 为方便 有时记RL

t 为RL

a 当t

t1

1-Ic1Tr-11时

经典下限在无替换定数截尾下是一致的 此下限可参见文献 故为了节省篇幅 这里不再赘述

4

至于R

t 的Bayes精确可信下限 有

命题6 对左截尾双参数指数分布的随机截尾

在无信息先验pdf下 覆盖概率为Y时

R

t 的Bayes精确可信下限RL

t 由下述诸式分别确定收稿日期

Z003-1Z-Z3收稿RnL

1-Ic1Tr-1T1tlnRL

r-1

-

1Z.1

1TtlnRL

r-1

=1-Y1特别地 当t

HL=t1-S

1-Y

1-nr1

-r-1-1 时

RL

S

t

1 为更合理 可令T

-

RL

t

=1 但此覆盖概率为作者简介 周源泉

1937- 男 研究员 研究方向为可靠性评定 可靠性增长 加速试验寿命预测

Bayes方法38导弹与航天运载技术11-

t-t1

lnRLZ005年t1t-A1-

r-1r1

1-

S

T

1-

S

1Z.Z

Y*=

T

-

n 即t

t1且T

0 时b 当t1

t

t1+S

RnL1

Tr-1

-ItTlnR1

r-1

+-r-1It-t1lnRLLc1T11S1

r-1

-r-1ItTlnR1

r-1

=Yr-1It-t1lnRLLc1Sc1T

1Z.3

c

t=t1+S

n 即T=0 时Y=dAA

f

it1-lnR1LiilnR1dHdAf

H

A

nn-RLe-A

t1-t

+

Lit1-lnR1L0=i11-

t-t1

lnRLt1-1lnRL

1lnR11r-Z-eASdAAc1P

r-1

1rZASdAA-e-

c1Pr-1t1-+L0

1nt-e-A1

RL

t

=exp

-XZZn

1Z.4

Zr

Y

t

t1+S

n 即T

0 时d

11Sr-1IS1

1lnRLr-1

-1cITln1t-t

r1Tr-1tRL-1

-RnL

T11

-T

r-1G-t-t

r-1

L-G-Ttln1R

Lr-1

1lnR=Y

1Z.5

式中T=S+n

t1-t

证

a 在t

t1时 因1-Y=P

R

t

RL

=

H

t-A-1ln1R 显然 计算概率P

LH

t--1ln

1

RL 的积分区域如图1的区域I 故1-

t-A-1ln1=iRL1nRi1tlL0f

H

A

dHdA图1t

t1时!计算P"H

t-A-1ln"1#RL$$的积分区域则有t-A-1ln11-Y=c-1RL1i

-A

t1-H

t-1ln1dRiH

L0nAen

-t

1r-Zr-1

Ae-ASdA=c1-i1

n

-e-nAt1

t-1

ln1RLenAt1-RL

1r-ZRnLrT-1

Ae-ASdA=c

1ln11Tr-1-ItR

Lr-1

-1r-1

1-ITtln1R

r-1

1TL此即式

1Z.1

下面讨论t

t1的情况

显然 计算P

H>t-A-1ln1R 的积分域如图ZL的区域I及J 故图Zt

t1时!计算P"H

t-A-1ln"1#RL$$的积分区域则Y=1cTn11Sr-1IS1t-t

1lnRLr-1

-1c1Tr-1ItlR

Lr-1

-Rni

-11Lt-t1

lnRLr-ZATcd1P

r-1

tlnAe--11A

13

RL下面对T=S+n

t1-t

0

T=0

T

03种情况分别进行讨论

b

t

t1且T

0 即t1

t

t1+S

n时 因

t-t-11-RnL1

RnLc1P

r-1iln

t-1ln1Ar-Ze-AtdA=-RLRLc

1Tr-1

IT1t-t1lnR

Lr-1

-IT1tlnRLr-1

据此 即得式

1Z.3

c

T=0 即t=t1+S

n=T

n时 此时有St-t1=n

T

t=n 由式

13 可得

nY=InlnRL

r-1

-RnL-c1P

r-1i-SlnRLr-Z

-ndA=TlnRALI-nlnRL

r-1

-RnLc

1P

r

-nlnRL

S

r-1-

-r-ZnlnRL

T

r-1

=1-Z

-nlnRL

nRnL

=0

！RL-

r-1 ！

--nlnRL

r-1=I-nlnR-1o

ZL

nlnRr

=1LZrP

riZ

0ore-do故-ZnlnRL=XZZr

Y则RL

t

=exp

-XZZr

Y

Zn

d

T

0即t

t1+S

n时

ccPAYPPc第3期

t-t1

RnL-c1P

r-1

t-1lnR1L1-周源泉等lnR1左截尾双参数指数分布的可靠性评估

39

iLAr-ZAte-dA=RnL-

r-1c1-T

P

r-1

i-t1lnRLt-T1-tlnRLT1or-Zeodo=RnLT1

t-r-1

-G-tTlnR1

r-1

-

r-1G-t1lnRLLc1-T

即得式

1Z.5

事实上 当t

HL时 由式

1Z.1 得RL

t

1 这不合理

Guenther等1Z在讨论双参数指数分布完全样本问题时 遇到过RL

t

1 文献

1Z 建议取RL

t

=1 这种做法不科学 恰当的方法是令L=1 但其覆盖概率应为式

1Z.Z 的Y* 下面来证明之

在式

1Z.1 中令RL=1 即得Y*=c1-1

1Sr-1-1

1-

S

T

r-1r-1=1-

S

T

r-1

RL

t 有许多有趣的性质 这对了解RL

t 性状有较大的帮助

a

t=HL=t1-S

1-Y

1-

S

T

r-1

-1n

r-1- 时

RL

t

=1 因为仅当RL=1时 式

1Z.1 的左方=1-Y

b

T=0即t=t1+S

n=T

n时 对无替换定数截尾 指数分布的RL

t 左截尾双参数指数分布的无信息先验pdf下的Bayes下限与经典下限三者相同 因为后两者的RL

t

=exp

-XZZr

Y

Zn 而前者的RL

t

=exp

-XZZr

Y

ZT 式中T为等效任务数

T=T

t 故此时指数分布的RL

t

=exp

-XZZr

Y

ZT

=exp

-XZZr

Y

Zn

c 左截尾双参数指数分布的Bayes下限RL

t

与经典下限R*L

t 的比较

当*1HL=t1-Sn

1-Y

-r-1-1

t

t1+S

n时

RL

t

R*L

t 当t=t1+S

n 即T=0时

RL

t

=R*L

t 当t

t1+S

n 即T

0 时

L

t

R*L

t

对Grubbs

1

给出的例

n=r=19

t1=16Z

S=15869 在图3上给出了RL

t

~t与R*

t

~t曲线

另外 为了直观了解RL

t

=1的覆盖概率Y*随t的变化的情况 现对Grubbs的例 给出了Y*~t曲线如图4

图3RL与R*的比较图AP[R=1t1,S]~t图事实上 有

t=t1时

P

R

t

=1t1

S

=0

而t=HL时

P

R

t

=1t1

S

=Y 当t=0时

R

t

=1t1

S

=1

可靠寿命tR的Bayes可信下限tR!L为方便 引进单边容许下限系数

即tR

L=t1+ S 在无替换定数截尾下

的经典方法的结果与双参数分布的结果相同

4

为节省篇幅 不再赘述

这里仅讨论Bayes方法的结果

命题7 对左截尾双参数分布的随机截尾场合

覆盖概率为Y时

tR在无信息先验pdf下的Bayes可信下限为tR

L=t1+ S

由下述诸式确定

首先 确定R0与R1 而R0与R1由下式给出

Rn0c

ISln111Sr-11-1t1R

0r-1

-c1Tr-1

1-ITt1lnR

0r-

=1-Y

14

R1=exp

-XZZr

Y

Zn

15

a 当R>R0时

0 且

由下式确定

RncS

1-n

11Sr-1

1-n

r-1

1-It1+ SlnR

r-1

-RT1tP7R140导弹与航天运载技术Z005年

1[1(16.1>1-ItT+

r-1>]=1-YlnR(1Sc1Tr-1b>当R1

R

R0时

0

n-1 且

由下式确定:-换定数截尾的指数分布 对无替换定数截尾的左截尾双参数指数分布的可靠寿命的经典限与Bayes限都成立0c>左截尾双参数指数分布可靠寿命的Bayes下限tR

L与经典下限t*R

L的比较当R

R1时

tt*R

L;当R

R1时

t对Grubbs[1]R

LR

L*t

tR

L;当R=R1时

R

LR[Ic1[S(1-n

>]r-1(rn(1-n

>1

lnR(r1-1>](r-1>--I(1-n

>S1t1+ SlnR1I-1>]+c1Tr-1>

lnR1-11(ITSlnRr-1>=Yc1Tr-1t1+

(16.Z>*

tR

L给出的例 图5给出了tR

L~R与t*R

L~R曲线0c>当R=R1时

=1/n(16.3>d>当R

R1时

1/n 且

由下式确定:1cr-1I1ln1(r11S R-1>-cIT1(1Tr-1t1+ SlnRr-1>-1[S(Rnn

-1>]r-1[Gn

-11

lnR(r-1>-G(n

-1>S1t1+ SlnR(r-1>]=Y(16.4>证:根据t与R[]R

LL(t>间的对称原理13 只需将RL(t>公式中的RL(t>及t分别改为R及tR

L 就得到tR

L公式0首先 由命题6的前提条件可得:t

t1

t1+ S

t1 即得

0t1

t

t1+S/n

t1

t1+ S

t1+S/n 故

1/nt=t1+S/n

t1+ S=t1+S/n 故

=1/nt

t1+S/n

1/n记

=0及

=1/n所对应的R分别为R0与1 显然 它们由式(14>及(15>确定0对给定的n

r

t1

S

Y;tR

L(从而

>是R的严格单调下降函数0故可得命题7中与

值范围相应的R值范围0另外 由命题6中的RL(t>公式即可得

公式

证毕0tR

L有一些有趣的性质 这对了解tR

L的性状颇有帮助0a>当R=1时

tR

L=HL=t1-Sn(

1-Y[1-(S/T>r-1]}-1r-1-1>因为t=HL时

RL(t>=1 由对称原理即得此性质0另外 由tR的表达式可知

R=1时

tR=H 故R

L=HLb>当R=exp

-XZZr

Y/(Zn>}时

tR

L=T/n这也可由对称原理得到0注意这个结果对无替图5RL!t"与R*!t"的比较8MTTF的Bayes精确可信下限对MTTFM=H+O 其Bayes精确可信下限ML由命题8给出0命题8:对左截尾双参数分布的随机截尾 覆盖概率为Y时

MTTF的无信息先验pdf下的Bayes精确可信下限ML由下式确定:1c1IS1Sr-M(L-t1r-1>-1cIT/M1Tr-1L(r-1>-(e-ncSTT-nMr-1[IM(L-t1-nr1L>-1>-IM(L-nr-1>=Y(17>证:因Y=P(M>ML>=P(ML-A-1

H

t1>此概率的积分区域如图6的区域I与区域

所示 故1M-1Y=iML-t1t1M-1-1f(A

A+LiML-AH>dHdiL0f(A>dA=c0Rt第3期1ML-t1周源泉等t-ML+A101-左截尾双参数指数分布的可靠性评估

n1Ir-1

01-nI

41

ii1-MLnAe1-nAo-donAt1-1r-Z-eASdAAc1P

r-1

Ar-Z+

1-

1

de-

Z=i1-n

n

o

rnde-o-1

1-n

n

o=1c1P

r-1

iML0

1-ee-ASdA=i1ML-t11-ML1

-or-1eI

1-nI

1-n

n

o

r-1

n0o-e-I0i

r-1

een-nA

t1-ML

-11r-Z-

eASdA+Ac1P

r-1

c1P

r-1

1rZAS

dA=IA-e-c1Sr-1SML-t1e-n=-

r-1I1-n

1

-n

r-1

+nn

1n

r-Z-1n-e-o

-o

e

o

0n

iML01-

1-enAt1-

r-1

-1r-1r-1

1-n

P

i1e-n

St-n

IT

MLr-1-r-1

r-1IM-

L1c1Tr-1c1

nMT-L1-n

e-nd

o=-r-1I

n

1-n

1

-n

r-1

+-ITML-n

r-1 证毕

MTTF的经典精确下限ML!c记M=H+O的经典精确下限ML

c=t1+ S

则有

命题9 对左截尾双参数指数分布的无替换定数截尾 置信水平为Y时

MTTF的经典精确下限ML

c=t1+ S 则

由下式确定

I1

r-1

-

e-n1-n

r-1I1

-n

r-1

=Y

18

故ISr-1SML

c-t

1r-1-e-n

ST nM

IL

cML

c-t1-n

r-1

=Y

19

证

Y=P

H+O>t1+ S

=P

Zn

t1-OH

+

ZS

O

Zn

由文献

5 知

=Zn

t1-H

O~XZZ与

=S

O~XZZr-Z相互独立 则

的联合pdf为

=1

1r-Z-

Ze-

ZZr-1P

r-1

e

Z作变换

=

+n

=

则

的联合pdf为f1

=1-

Z1Ze

r-Ze-

1-n

ZZr-1P

r-1

故

的边缘pdf为

f

n

=i0f1

d

=11-n

-

1Zn

-ZoZe

Z

1-n

r-1P

r-1i

0ore-do=1-

ZeZI1-n

Zn

r-1

11-n

r-1则ZnnY=if

d

=-

101-n

r-iZ1-n

0I1Zn

r-1P

r-1i1

r-Z

0e-

d

=I1

r-1

-

e-n1-n

r-1I1

-n

r-1 证毕 MTTF的高精度经典近似下限记M=H+O的经典近似下限

ML=t1+

S 则有

命题10 对左截尾双参数指数分布的无替换定数截尾 置信水平为Y时

MTTF的经典近似下限

ML=t1+

S

由下述简单迭代格式给出

=

1-

+uY

-39MZ9MZ

r-1

-1n

r-1

Z0

式中

M=1

n+

r-1

=1

nZ+

Z

r-1

Z1

uY为

0

1 的Y分位数 选

的迭代初值为1

Zn 可保证式

Z0 迅速收敛

证 由前述可知Y=P

+n

Zn

=P

1Zn

+

Z

1

令

=1Zn

+

Z

故

~1ZXZZ+

ZZXZr-Z按文献

10 介绍的Gamma分布近似方法 用

~P

T 来近似拟合

记

M=

=1+ r-1

n

ZZ

=

=1ZnZ+

r-1

拟合时要求

=

与

=

由此可解得

T=M

=MZ

因

~P

T 故ZT

~XZZ

又因Y=P

1

=P

ZT

ZT

P

ZT

ZT

故ZT

XZZ

Y

n

Z4Z

由WilsOn-Hilferty近似14有导弹与航天运载技术Z005年

R

Z00 的下限

Y=0.95时

c

经典方法Bayes方法0.8394Z651R

L1Z1-+YY

Z

XZ

9

u将式 代入上式 可得Z3

Z

1

3

ZT9

Z3-RL

t

0.817Z7115

M

1-

9M

9M

+uY

的简单迭代格式式将式

ZZ 代入上式 即得

由式

Z0

ZZ 可得近似式

Z1

=1 由式 可知 当选

18

0

1

n

Zn作R=0.90时的td

Y=0.90时

经典方法

Bayes方法16Z.4644tR

L147.9Z85MTTF的下限

Y=0.95时

e

的迭代初值 为

可保证式 证毕

Z0 迅速收敛

的初值1 输入u0.95=1.644854及

在Zn

n+1-

n

10-10

为第

次迭代的

值 时

数值例这里引用Grubbs

1

给出的著名的例

19辆军队运兵车在服务中的失效行驶里程为

16Z

Z00

71

3Z0

393

508

539

6Z9

706

777

884

1008

118Z

1463

1603

1984

Z355

Z880mile

1mile=1.609km 分布拟合优度检验及鉴别表明

15

这组数据可用左截尾双参数指数分布描述

这里n=r=19

t1=16Z

S=15869

a 求H

O

A

M

R=0.90的tR

t=Z00的R

t

的UMVUE与无信息先验pdf下的Bayes估计

b 求Y=0.90时

H

O的经典与Bayes下限与的经典与Bayes上限

c 求Y=0.95时

t=Z00的R

t 的经典下限与Bayes下限

d 求Y=0.90时

R=0.90的tR的经典与yes下限

e 求Y=0.95时

MTTF的Bayes精确下限ML 经典精确下限ML

c与高精度近似下限

ML

解

a

H

O

A

M

R=0.9的tR

t=Z00的R

t

的UMVUE与无信息先验pdf下的Bayes估计为^H=115.5994

H=77^O=881.6111

O=9Z5.7041^A=1.071Z7>10-3

A=1.14Z19>10-3^M=997.Z105

M=1045.9318^tR=Z08.4864

tR=Z17.7603^R

t

=0.909533

R

t

=0.915Z70b

Y=0.90时

H

O

A的经典与Bayes限

经典方法Bayes方法HL48.0Z4164.487ZOL67Z.Z419669.3536AH1.48756>10-31.49398>10-3终止迭代 得

=0. 故M的经典近似下限为

ML=t1+

S=74Z.3403以

0.95

ML

1.05

ML

=

33

779.4574 作为求经典精确下限ML

c与Bayes精确下限ML的搜索范围 用Brent迭代可得

经典方法Bayes方法MTTF下限74Z.1800744.3575可见采用信息H

0后 对H

tR

R

t 的点估计 置信下限的提高都有相当明显的效果

补充说明如果

H

O 的先验pdf取Sinha&Guttman

9

或文献

11 建议的非主观先验pdfT

H

O

-a-1 则本文中各参数及可靠性测度的Bayes估计与Bayes可信限公式中的r需用r+a代替

参考文献GuentherWC

PatilSA

-sidedB-cOncenttOlerancefactOrsfOrthetWOparameterexpO-nentialdistributiOn

J

.TechnOmetrics

1976

18

3

333~340周源泉 翁朝曦.可靠性下限与可靠寿命下限间的对称原理

J

.系统工程与电子技术

1993

3

64~7ZWilsOnEB

tributiOnOfChi-sCuare

C

.atiOnalAcademyOfScience

U.S.

1931

17

684~688周源泉.质量可靠性增长与评定方法

M

.北京 北京航空航天大学出版社

1997.

Z1101ABa 21Z131415