2023年12月3日发(作者：苹果越狱后能干啥)

非线性回归常见模型一．基本内容模型一yc1e将yc1ec2xc2x，其中c1,c2为常数.c2x两边取对数，得lnyln(c1e)lnc1c2x，令zlny,alnc1,bc2，从而得到z与x的线性经验回归方程zbxa，用公式求即可，这样就建立了y与x非线性经验回归方程.模型二yc1xc2，其中c1,c2为常数.令tx,c1b,c2a，则变换后得到y与t的线性经验回归方程ybta，用公式求即可，这样就建立了y与x非线性经验回归方程.模型三yc1xc2，其中c1,c2为常数.则变换后得到y与t的线性经验回归方程ybta，用公式求即可，tx,c1b,c2a，这样就建立了y与x非线性经验回归方程.模型四反比例函数模型：yab令t221，则变换后得到y与t的线性经验回归方程ybta，用公式求即可，这样就建立x了y与x非线性经验回归方程.模型五三角函数模型：yabsinx令tsinx，则变换后得到y与t的线性经验回归方程ybta，用公式求即可，这样就建立了y与x非线性经验回归方程.1x二．例题分析例1．用模型yaekx拟合一组数据组xi,yii1,2,,7，其中x1x2x77；设zlny，ˆx4，则y1y2y7（得变换后的线性回归方程为z）A．e70B．70C．e35D．35【解析】因为x1x2x77，所以x1，zx45，即lny1lny2...lny7ln7355，所以y1y2y7e.故选：C77例2．一只红铃虫产卵数y和温度x有关，现测得一组数据xi,yii1,2,,10，可用模型bx4，若x1x2x10300，yc1ec2x拟合，设zlny，其变换后的线性回归方程为zy1y2y10e50，e为自然常数，则c1c2________.4yc1ec2x经过zlny变换后，【解析】得到zlnyc2xlnc1，根据题意lnc14，故c1e，50又x1x2x10300，故x30，y1y2y10elny1lny2lny1050，故z5，ˆ0.3，即c20.3，于是bx4一定经过(30,5)，故30bˆ45，解得b于是回归方程为zc1c20.3e4.故答案为：0.3e4.例3．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．年份代码x市场规模y13.9824.5635.0445.8656.36xa拟合y与x的关系，请建立y关于x的回（1）由上表数据可知，可用函数模型yb，b的值精确到0.01）归方程（a；（2）已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若PX3PX4，求X的数学期望．参考数据：y5.16，v1.68，viyi45.10，其中vixi．i15a的斜率和截参考公式：对于一组数据v1,y1，v2,y2，…，vn,yn，其回归直线ybv距的最小二乘估计公式分别为bvyi1nininvynv2vi12iybv．，a55a，因为y5.16，v1.68，vi2xi15，【解析】（1）设vx，则ybvi1i1所以bvy5vyi15ii5vi12i5v245.1051.685.161.756a，得1.98．把1.68,5.16代入ybv21551.680.8885.161.981.681.83．即y关于x的回归方程为y1.98x1.83．a444333（2）由题意知X~B4,p，PX3C4p1p4p1p，PX4C4pp，34由4p1pp得p4164，故EX4.555例4．下表是从2013年至2022年，德阳三星堆景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年旅游人数y（万人）574868527962210800该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程y50.8x169.7；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线yaebx的附近．ˆaebx．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程y（a精确到个位，b精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2023年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程10①y50.8x169.7ˆaebx②y(yi1iˆi)2y3040714607参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据v1,w1,v2,w2,,vn,wn，其回归直线ˆv的斜率和截距的最小二乘法估计分别为ˆwˆ(ww)(vv)i1iin(vv)i1in2ˆv．②刻画回归效果的相关指数R21ˆw,(y(yi1i1nniˆ)2yy)2；i③参考数据：e5.46235，e1.434.2．x5．5yu6．05(xx)i1i102xxyi1i10iyxxuui1ii1．00110表中uilnyi,uui．10i1【解析】（1）对yaebx取对数，得lnybxlna，设ulny，clna，先建立u关于x的线性回归方程.bxxuui1ii10xxi1i1029.00ubx6.050.1085.55.4565.46，0.108，c83ecy235e0.11x.ae5.46235，模型②的回归方程为30407（2）由表格中的数据，有30407>14607，即130407114607(yi110214607iy)(yi110iy)2，即(yi110iy)2(yi110iy)22222，R1R2，模型①的相关指数R1小于模型②的R2，说明回归模型②的拟合效果更好.2021年时，x13，预测旅游人数为y235e0.1113235e1.432354.2987（万人）.例5．中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提到，新时代十年我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量稳居世界第二位.建立年份编号为解释变量，地区生产总值为响应变量的一元线性回归模型，现就2012-2016某市的地区生产总值统计如下：年份年份编号地区生产总值（亿元）201212.8201323.1201433.9201544.6201655.6（1）求出回归方程，并计算2016年地区生产总值的残差；（2）随着我国打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，该市2017-2022的地区生产总值持续增长，现对这11年的数据有三种经验回归模型y1.017x1.200、y3.816x1.645、y0.107x22.365，它们的R2分别为0.976、0.880和0.985，请根据R2的数值选择最好的回归模型预测一下2023年该市的地区生产总值；（3）若2012-2022该市的人口数（单位：百万）与年份编号的回归模型为y0.2x1.2，结合（2）问中的最佳模型，预测一下在2023年以后，该市人均地区生产总值的变化趋势．参考公式：bxynxyxxyyi1niinnxi12inx2i1iixxi1in2，aybx.^^【解析】（1）由数据，x52.83.13.94.65.6123454，3，y555i12而xiyi2.86.211.718.42867.1，xi149162555，i1ˆ67.15340.71，则aˆ40.7131.87，综上，回归方程为所以by0.71x1.87，25553ˆ0.7151.875.42，故2016年地区生产总值残差为5.65.420.18.当x5时，y（2）根据相关指数越大拟合越好，由于0.9850.9760.880，故y0.107x22.365模型较ˆ0.1071222.36517.773亿元.好，因2023年对应x12，则y（3）由（2）及题设知：该市人均地区生产总值0.107x22.3650.535(x6)26.42(x6)31.08531.0850.535(x6)6.42，0.2x1.2x6x631.08531.085令tx618，且y0.535t，若t2t118，所以y0.535t在[18,)上tt递增，则在[18,)上递增，所以该市人均地区生产总值逐年递增.例6.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份x收入y（百万元）16.628.6316.1421.6533.0641.0（1）根据散点图判断，yaxb与ycedx（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位）（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：x3.50yu2.85(xx)i1i62(xx)(yy)(xx)(uu)i1iii1ii66e1.52e2.6621.1517.70125.356.734.5714.30其中，设ulny,uilnyi（i=1，2，3，4，5，6）.参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，vi）（i=1，2，3，…，n），其回归直线ˆˆxˆ的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为ˆv(xx)(vv)i1iin(xx)i1in2ˆx.ˆv，【解析】（1）根据散点图判断，ycedx更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型；（2）因为ycedx，所以两边同时取常用对数，得lnylncdx，设ulny，所以ulncdx，ˆ因为x3.50,u2.85，所以d(xx)(ui1i6i1i6iu)2(xx)6.730.380,17.70ˆ2.850.3803.501.52.所以uˆ1.520.38x，ˆ1.520.38x，所以lncudx即lny所以ˆe1.520.387e1.52e2.664.5714.3065.35，故预测该公司7月ˆe1.520.38x.令x7，得yy份的5G经济收入大约为65.35百万元.（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，（4）所以X的取值为0，1，2，212C3C1C31313C3P(X0)2,P(X1)2,P(X2)2,C65C65C65所以X的分布列为：X012P153515131所以EX0121555