2024年5月25日发(作者：)

函数的周期性与对称性

1、函数的周期性

若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，

则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)

2、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，

且T＝2|a－b|

性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为

周期函数，且T＝2|a－b|

性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数

f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|

3.函数

yf(x)

图象本身的对称性（自身对称）

若

f(xa)f(xb)

，则

f(x)

具有周期性；若

f(ax)f(bx)

，则

f(x)

具有对

称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、

f(ax)f(bx)



yf(x)

图象关于直线

x

(ax)(bx)ab

对称



22

推论1：

f(ax)f(ax)



yf(x)

的图象关于直线

xa

对称

推论2、

f(x)f(2ax)



yf(x)

的图象关于直线

xa

对称

推论3、

f(x)f(2ax)



yf(x)

的图象关于直线

xa

对称

2、

f(ax)f(bx)2c



yf(x)

的图象关于点

(

ab

,c)

对称

2

推论1、

f(ax)f(ax)2b



yf(x)

的图象关于点

(a,b)

对称

推论2、

f(x)f(2ax)2b



yf(x)

的图象关于点

(a,b)

对称

推论3、

f(x)f(2ax)2b



yf(x)

的图象关于点

(a,b)

对称

例题分析：

1．设

f(x)

是

(,)

上的奇函数，

f(x2)f(x)

，当

0x1

时，

f(x)x

，则

f(47.5)

等于 ( )

（A）0.5 （B）

0.5

（C）1.5 （D）

1.5

2、（山东）已知定义在

R

上的奇函数

f(x)

满足

f(x2)f(x)

，则

f(6)

的值为（ ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

3．设

f(x)

是定义在

R

上的奇函数，

f(1)2,f(x1)f(x6),

求

f(10).

4．函数

f(x)

对于任意实数

x

满足条件

f(x2)

1

，若

f(1)5

，则

f[f(5)]

___

f(x)

1

5．已知

f(x)

是定义在

R

上的奇函数，且它的图像关于直线

x1

对称。

（1）求

f(0)

的值；（2）证明

f(x)

是周期函数；

（3）若

f(x)x(0x1)

，求

xR

时，函数

f(x)

的解析式，并画出满足条件的函数

f(x)

至少一个周期的图象。

6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)

＝2x－x

2

.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．

巩固练习：

1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上

的解集为( )

A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)

2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈

1



1

－

x

[0,1]时，f(x)＝





2



，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

1



x

－

3

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝





2



.

其中所有正确命题的序号是________．

1

0，



时，3．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈





2



3

1111

－



的值等于( )A．－ B．－C．－ D．－ f(x)＝－x

2

，则f(3)＋f





2



2345

4．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，

则f(－6)等于________．

a

x

11

关于点（，）对称：f(x)f(1x)_____

; 5、（1）

f(x)

x

22

aa

4

x

1

1）对称：f(x)f(x)______

（2）

f(x)

x1

2x1关于（0，

2

（3）若

f(x)f(2ax),

设

f(x)0有n个不同的实数根，则

x

1

x

2

x

n

_________

.

6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(3)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．

2