2024年5月25日发(作者：)

２０１０年１　１月　教学研究　课例示范　

函数周期性的推导及应用　

史广学　

（丰宁县凤山一中，河北承德０６８３５２）　

函数的周期性，无论是在《全日制高级中学教科＝　》中，　

还是在《普通高中课程标准实验教科书》中，都是在正、余弦　

例题：已知在（一　，＋　）上满足ｆｉｘ＋２）＝｛孥，

ｌ—ＩＸ　

　

函数性质中给出的，最直接的应用是在三角函数中求周期。　

若ｆｉｌ）＝２＋、／３，则ｆｆ２００５）＝——？　

关于普通函数的周期应用教材并未涉及，因此普通函数中周　

期的推导及应用成为部分同学学习的难点，从近几年各省高　

解析由ｆ（ｘ＋２）＝｛±　得：ｆ（ｘ＋２）－ｒ（ｘ＋２）·ｉｆｘ）＝１＋ｆｉｘ）　

考试题看，对普通函数周期性的考查也是屡见不鲜，成为高　

·

ｉｆｘ）＝　１ｋ＋　２－１

考命题中的一大亮点。本文就普通函数周期性的推导及常见　

．．

，

同理可得ｆ（ｌｘ）‘ｉｆｘ＋４）＝一１，　

应用进行归纳总结：　

·

．．

ｆ（ｘ１的周期为８。　

１、函数值之和等于常数型：即ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ａ（ａ∈Ｒ）。　

‘

．．

ｆ２００５）＝ｆｉ２５０　Ｘ　８＋５）＝　５），　

推导周期：‘．。ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ａ①　

把①中的变量ｘ用ｘ＋Ｔ替换得：ｆｆｘ＋Ｔ１＋ｆｉｘ＋２Ｗ）＝ａ￣）　

又‘．‘ｆ（Ｘ）·ｆ（ｘ＋４）＝一１且ｆｉｌ）＝２＋、／３，　

‘

ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｒ（ｘ＋Ｔ）＋ｆｉｘ＋２Ｔ）．‘．ｒ（ｘ）＝ｆｉｘ＋２ｒｒ）　

．．　

‘

５）＝一　＝ｘ／３—２　．ｉｆ２ｏｏ５）＝＼／３—２。　

．．

·

．．

ｙ＝ｆ（ｘ）周期为２Ｔ。　

４、已知：ｙ＝ｆ（ｘ）的奇偶性及对称性，求周期。　

结论１：若ｙ＝ｆｉｘ）（ｘ∈Ｒ）满足ｆｉｘ）＋ｆｉｘ＋Ｔ）＝ａ（ａ　Ｒ），则ｙ＝ｆ　

（１）已知：ｙ＝ｆｉｘ）是奇函数。且ｙ＝ｆ（ｘ）图像关于直线ｘ＝ａ对　

ｆｘ１的周期为２Ｔ。　

称，求ｖ＝ｆ（ｘ）周期。　

例题：设ｆｉｘ）是Ｒ上的奇函数，且满足ｆ（ｘ＋２）＋ｆ（ｘ＋３）－－０，求ｆ　

推导周期；‘．’ｙ＝ｆ（ｘ）图像关于直线ｘ＝ａ对称　

（２００８）＝７　

·

．．

ｆ（ｘ）＝ｆｆ２ａ－ｘ１①　

解析：。．’ｆ（ｘ＋２）＋ｆ（ｘ＋３）＝０．‘．ｉｆｘ）＋ｆｉｘ＋１）＝０　

·

．　

ｉｆｘ）是奇函数　．·．ｆ（Ｘ）：一ｆ（一ｘ）②　

由结论１知ｆ（ｘ）周期为２＇．．．ｆ（２００８）＝ｆ（１００４×２＋Ｏ）＝ｆ『０）＝Ｏ　

由①（　知：ｆ（一ｘ）…ｆｉ２ａ　ｘ），即ｆｆｘ）＝－－ｆｉｘ＋２ａ）　

２、函数值之积等于常数型：即ｆ（ｘ）·ｉｆｘ＋Ｔ）＝ａｆａ∈Ｒ，且ａ≠　

·

．．

ｖ＝ｆ（ｘ）周期为４ａ　

０）。　

推导周期：‘．·“ｘ）·ｉｆｘ＋Ｔ）＝ａ①　

（２）同理若ｙ＝ｆｉｘ）是偶函数，且ｙ＝ｆｉｘ）图像关于直线ｘ＝ａ　

对称，则ｙ＝ｆ（ｘ）周期为２　ａ。　

把①中的变量ｘ用ｘ＋Ｔ替换得：ｆ（ｘ＋Ｔ）·ｆ（ｘ＋２Ｔ）＝ａ②　

例题：（０５年天津）设函数ｆ（Ｘ）是Ｒ上的奇函数，且Ｙ＝ｆ（ｘ）　

．　．

ｆｉｘ）。ｆ（ｘ＋ｒＩ１）＝ｆｉｘ＋ＴＪ。ｆ（ｌｘ＋２Ｔ）．‘．ｉｆｘ）＝ｆｉｘ＋２Ｔ）　

·

．．

ｆｆｘ）周期为２Ｔ　

的图像关于直线ｘ：　１对称，则ｆ（Ｏ）＋ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＋ｆ（５）　

结论２：若ｙ＝ｆｉｘ）（ｘ∈Ｒ）满足ｆｉｘ）·ｆｘ＋Ｔ）＝ａ（ａ　Ｒ且ａ＃０），　

＝

——

Ｏ　

则ｙ＝ｆｉｘ）的周期为２Ｔ。　

解析：由（１）知ｖ＝ｆ（ｘ）周期为２，　

例题：（２００８四川）设定义在Ｒ上函数ｆｆｘ）满足　

’

．．　

０）＝　２）＝ｆ（４）ｆｉｌ）＝ｆｉ３）＝ｆ（５）　

ｉｆｘ）·ｉｆｘ＋２）＝１３，若ｆ（１）＝２，贝０　ｆ（９９）＝（）　

又‘．‘ｉｆｘ）是Ｒ上的奇函数，．·．　０）＝０．·．　０）＝　２）＝ｆ（４）＝Ｏ　

Ａ、ｌ３　Ｂ、２　Ｃ、１３，２　Ｄ、２／１３　

。’

．

ｆ（ｘ）＝ｆｉｌ—Ｘ）．‘．ｉｆ１）＝ｆ（０）＝０．’．ｆ（１）＋ｆ（３）＋ｆｉ５）＝０。　

解析：由结论２知ｆｉｘ）周期为４　

’

．．

ｆ（０）＋ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＋ｆ（５）＝０。　‘　

‘

．．

ｆｉ９９）＝ｆｉ２４　Ｘ　４＋３）＝　３）：　一１）　５、由函数图像的“双对称”条件求周期。　

令Ｘ＝－Ｉ　Ｔ由ｆｉｘ）·ｉｆｘ＋２）＝ｌ３得　一１）·　１）＝ｌ３．·．　一１）＝１３／２　

（１）已知ｙ＝　ｘ）图像关于直线Ｘ＝ａ对称，又关于直线ｘ＝ｂ　

３、分式递推型：即ｆｆｘ１＝、／　（Ｔ≠０）。　

对称（ｂ＞ａ），求ｙ＝ｆ（ｘ）周期。　

推导周期‘．　ｆ（ｘ）＝　①．·．用ｘ＋Ｔ替换①中ｘ得　

推导周期：ｙ＝ｆｉｘ）图像关于直线ｘｍａ对称　．ｆ（ｘ）＝ｆ（２ａ—ｘ）　

①　

ｉｆｘ＋ｒＩ１）：　②　

同理Ｆ（ｘ）＝ｆ（２ｂ—ｘ）②由①②得ｆ（２ａ—ｘ）＝ｆ（２ｂ—ｘ）③用变量　

ｘ

替换③式中（２ａ—ｘ）则　

１　±　兰±　１）　

￣ｘ）＝ｆｆ２ｂ一２ａ＋ｘ）．＿．ｙ＝ｆｉｘ）周期为２（ｂ—ａ）。　

②代人①得ｆ（ｘ）＝÷　

结论：ｙ：ｆ（ｘ）图像关于直线ｘ＝ａ对称，又关于直线ｘ＝ｂ对　

ｌ－．ｆｆｘ＋乏　

＝　１　

称，则其周期为２（ｂ—ａ）。　

即ｆｉｘ）·ｆ（ｘ＋２Ｔ）＝－－１．·．ｉｆｘ）周为４Ｔ。　

（２）已知ｙ＝ｆｉｘ）图像关于点（ａ，０）对称，又关于点（ｂ，０）对称　

（ｂ＞ａ），求ｖ＝ｆｉｘ）周期？　

结＿ｃ仑．３：若ｙ＝ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ）满足ｆｉｘ）＝＿１ｉ＋

ｆ

（ｘ　＋

２　Ｔ）（

、

Ｔ＃０

）￣ｌ

．．

，

ｌ　ｙ：　

推导周期：‘．。ｙ－－ｉｆｘ）图像关于点（ａ，０）对称，．·．ｉｆｘ）＝－－ｆ（２ａ—ｘ）　

一

ｆｆ＋２

ｆ（ｘ）的周期为４Ｔ。　

①同理ｆ（ｘ）＝－－ｆ（２ｂ—ｘ）②，由①②得ｆ（２ａ—ｘ）＝ｆ（２ｂ—ｘ）同（１）．·．ｙ＝　

注：同理可推导以下几种形式周期。　

ｆｆｘ）周期为２（ｂ—ａ）。　

（３）若ｙ＝ｆ（ｘ）图像关于直线ｘ＝ａ对称，又关于点（ｂ，０）对称　

①　）：　（Ｔ≠０）。则周期为２Ｔ。　

（ｈ＞ａ），求ｖ＝ｆｉｘ）周期？　

＠ｆｉｘ）＝　｝（Ｔ≠０），则周期为２Ｔ。　

推导周期：’．　ｙ＝ｆｉｘ）图像关于直线ｘ＝ａ对称，　

·

．

．

ｉｆｘ）＝ｆｉ２ａ—ｘ）①　

又因为ｙ＝ｆ（ｘ）图像关于点（ｈ，０）对称’．．．ｉｆｘ）＝－－ｆｉ２ｂ—ｘ）②　

③ｆ（ｘ）：

ｆ（

ｘ

＋Ｔ

）

－

１（Ｔ≠０）

，

“

则周期为４Ｔ。　

ｘ

＋

１ｌ＋Ｉ

由①（至）得ｆ（２ａ—ｘ）＝一ｆ（２ｂ—ｘ）即ｆ（ｘ）＝－－ｆ（２ｂ一２ａ＋ｘ）＝一ｆ［２　

说明：以上三种类型周期的推导，关键是进行合理的变　

（ｂ－ａ）＋ｘ］．·．ｆ（ｘ）周期为４（ｂ—ａ）。　

量代换，可称为“变量替换法”推周期　

结论：若ｙ：　ｘ）图像关于直线ｘ＝ａ对称，义关于点（ｈ，０）对　

１３３　

课例示范　教学研　２０１０年１　１月　

关于如何整理与使用错题本的几点想法　

栾绍炜　

（青岛城阳第二高级中学，山东青岛２６６０００）　

数学学科有许多公式、定理、方法和规律，但在运用这些　

公式、定理、方法和规律时有一些条件是需要注意的，否则就　

会造成错误的结果。而这些需要注意的点往往是考试的重　

点，平时做题时如果不注意总结和积累，考试时就很容易出　

不是整理错题本就能解决的。一般每天整理的题目不要太　

多，两三个足够了。第三整理错题不完全是将这个题再做一　

遍，更不是直接抄上，而是应该在整理题目的同时将该题的　

切人点，解题思路，所属类型，出错的原因等注释在旁边，为　

错、丢分。　

了醒目和突出也可以用不同颜色或固定的符号标识出来。第　

要想避免以上情况的发生就要在教学中教会学生如何　

四在课堂上将老师总结的规律，强调的关键点、易错点记录　

建立一本错题本。　

到错题本上。当然也不要把错题本当成课堂笔记，不需要把　

错题本是学生自身错误的系统汇总，可能很多同学会　

老师说的每一句话都记上，公式和例题也没必要记，课堂上　

说，这些错误就让它放在卷子上不也一样吗？将来看卷子就　最重要的是认真听讲和吸收理解。第五整理错题本一定要有　

是了。其实不然，首先改在卷子上时间一长复习时就容易分　

恒心和毅力，坚持每天整理，认真整理，保证每一个题的质　

不清主次；其次这是一个关于统计的问题，现实生活中统计　

量，不要为了应付老师检查，敷衍了事，随便找一些题就往错　

的效用是相当重要的，当把错误汇总在一起的时候，也就易　题本上写，这样的错题本不要也罢。　

于总结和观察其中的规律。　二、错题本的使用　

错误是宝贝，因为了解错误才能使学生知道自己的不　

在错题本的使用上首先是要及时地翻阅。根据艾宾浩斯　

足，一个错误实际就是一个盲点，不能因为错题少或错误的　遗忘曲线，对于老师讲的知识开始时遗忘速度最快，所以当　

原因简单而忽视它。如果对待错误的态度不积极，或者缺乏　天整理的题目，第二天一定要找时间阅读，及时巩固，而且每　

理想的方式解决错误，错误会在任何可能的时候发生，而且　次阅读时最好将前面几天的题目也浏览一下，以加深对前面　

会经常重复发生。所以在平时的学习中就要教导学生对待错　知识的印象。其次要相互交流，同学问交换错题本，互相借　

误一定要“善待”、“严逮”。　鉴，互有启发，在“错题”中淘“金”，以便共同提高。整理一本　

一

、

如何整理错题本　

好的错题本为以后的复习留下重要的法宝与财富，最后考试　

错题本的整理要注意以下几点：第一要及时整理，最好　

复习时可以完全利用手中的错题本，有针对性的复习，对易　

是当天整理，因为时问一长就容易遗忘一些关键点，有些同　

错的题型进行重点突破和巩固，防止陷入题海战术的泥沼之　

学因为高中学习任务重就认为没有时问整理或者认为整理　

中，达到事半功倍的效果。　

错题本占用太多时间。我认为可以利用一些琐碎的时间进行　总之，好的错题本是学好数学的一笔财富，是任何阶段　

整理，比如课间、饭后等零星时间整理一道或两道典型错题，　复习和巩同的重要依据。同学们一定要培养起这个良好的学　

不一定要腾出大段时间进行整理。第二不是做错的题都要整　习习惯，利用错误战胜错误！　

理，已经整理过的同一种类型的题就没必要再整理；因为运　

（注：栾绍炜，聊城大学文学院２００９级教育硕士）　

算能力差而出错的题也不需要整理，毕竟要想提高运算能力　

称（１）＞ａ），则ｆ（ｘ）周期为４（ｂ—ａ）。　

‘

．．

±（ｘ＋１）＝－－ｆ（一ｘ＋１），±（ｘ一１）＝－－ｆ（－ｘ一１），　

说明：关于“双对称”函数周期的推导还可以借助于具　’　

即ｆ（ｘ）＝－－ｆ（２一ｘ），ｆｉｘ）＝一ｆ（一２一ｘ），．·．ｆ（ｘ）既关于点（１，０）对　

函数的周期关系去比较，我们熟知ｏＹ－余弦函数（ｙ＝ｓｉ　ＬＸ，　

称，又关于点（一１，０）对称　．ｆ（ｘ）周期为４。．＿．ｉｆｘ一１）＝ｆｉｘ一１＋４】　

ｙ＝ｃｏｓｘ）均具备双对称特性，从其对称性可以很直观的得出我　

＝

ｉｆｘ＋３）。Ｉ司理一“一ｘ一１）＝－ｆ（一ｘ＋３），．’．ｆ（ｘ＋３）：一　一ｘ＋３）．‘．　ｘ＋３）　

们上面所推导的结论。　

是奇函数，即选Ｄ。　

例如：ｙ　ｓｉｎＸ对称轴为ｘ　＇ＩＴ，ｘ　

在抽象函数的前提下，对函数周期性的考查已逐渐成为　

近几年高考的热点，从以上归纳可以看出解此类题的关键是　

所以其周期为２×（之Ｌ一旦２）＝２１Ｔ。　、　

在于结合已知条件正确的得出函数的周期，而推导周期的关　

键是进行合理的变量替换。以下几题供读者自行完成：　

例１：（２００５广东）函数ｆ（ｘ）在Ｒ上满足ｆ（２一ｘ）＝ｆ（２＋ｘ），ｆ　

１已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）是Ｒ上的偶函数，且ｆ（ｘ＋２）·ｆ（ｘ）＝ｌ，ｉｆｘ）　

（７一ｘ）＝ｆ（７＋ｘ），且在闭区间［０，７］上，只有ｆ（１）＝ｆ（３）＝０，试求方程ｆ　

＞０恒成立，则ｆ（１１９）的值等于（）。　

（Ｘ）＝Ｏ在闭区间［一２００５，２００５］上根的个数。　

２已知函数ｙ＝　ｘ）满足ｆ（ｘ＋１）：　ｘ）＋ｆ（ｘ＋２），且ｆ（１）＝１，　２）　

解析：由结论可知：Ｙ＝　ｘ）周期为２×（７－２）＝１０，　

＝

２０１０，则ｆ（１１＋ｆｆ２）＋ｆｆ３）＋…＋ｆｆ２００９）＝（）。　

‘

’

．

ｉｆｌ）＝ｆｉ３）＝０，．‘．ｉｆｌ　１）＝ｆ（１３）＝ｆ（一７）＝　一９）＝０　

‘

３已知定义在Ｒ上的函数ｙ＝ｆｉｘ）满足：ｆ（ｘ＋÷）：一ｆｉｘ）Ｒ￣　

．．

ｆ（ｘ）在［Ｏ，ｌＯ）和［一１０，０，］上均有２解，　

二　

从而可知函数Ｙ＝ｆ（ｘ）在［Ｏ，２００５］上有４０２个解，在　

［一２００５，０］上有４００个解，所以方程ｆｆｘ）＝０在闭区间［一２００５，　

数ｙ＝ｆ（ｘ一辜）为奇函数，则下列命题中错误的是（）。　

２００５］上根的个数为８０２个。　

Ａ函数ｙ＝ｆ（ｘ）最小正周期是３，Ｂ函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于　

例２（２００９全国Ｉ（１１））函数ｆｉｘ）定义域为Ｒ，若ｆｉｘ＋１）与ｆ　

（ｘ一１）都是奇函数，则（）　

点（一｝，０）对称，　

Ａ．ｉｆｘ）是偶函数Ｂ．ｆ（ｘ）是奇函数Ｃ．　ｘ）＝ｆ（Ｘ＋２）Ｄ．ｉｆｘ＋３）　

Ｃ函数ｙ＝ｆｉｘ）的图象关于ｙ轴对称，Ｄ方程ｆ（ｘ】＝０在闭区　

是奇函数　

问［０，２００４］上恰有６６８个根。　

解析：‘．’　ｘ＋１）与ｆｉｘ一１）都是奇函数，　

答案：１，１　２，２００９，３，Ｄ。　

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