2024年5月25日发(作者：)

第四章：幂函数、指数函数与对数函数

第五节：反函数的概念

【知识梳理】

1、定义：一般地，对于

yf(x)

，设它的定义域为

D

，值域为

A

，如果对

A

中任意一个值

y

，在

D

中总

有唯一确定放的

x

值与它对应，且满足

yf(x)

，这样得到的

x

关于

y

的函数叫做

yf(x)

的反函数，记

作

xf

1

(y)

.习惯上，自变量常用

x

表示，而函数用

y

表示，所以把它改写为

yf

1

(x)(xA)

.

2、性质特点：

特点一（概念特点）：

1函数的定义域与值域正好是原函数的值域与定义域.

○



反函数的定义域不能由其解析式来求，而应该是原函数的值域.



f

1

[f(x)]x(xD)

、

f[f

1

(x)]x(xA)

.

2

y

○

f(x)

、

xf

1

(y)

、

yf

1

(x)

的函数图象；



对称性——关于

yx

对称.

3存在条件：只有从定义域到值域的一一对应所确定的函数才有反函数.

○

特点二（交叉特点）：



1、定义域上的单调函数必有反函数，存在反函数不一定具有单调性；

1

单调性



○



2、互为反函数的两函数具有相同的单调性.



存在反函数情形其反函数也是奇函数

奇函数







不存在反函数情形



2

奇偶性



○



偶函数



存在反函数情形定义域为单元素集







不存在反函数情形

1





分段函数求反函数时，分段求解重点







1、F[f(x)]情形

复合函数







2、f(xa)情形考题特点：求对称点问题









1、三角函数



3

五类函数



周期函数



不存在反函数截取其定义域片段，单独考查

○



2、其他周期函数







抽象函数很难与反函数进行知识交叉





指数函数





常见函数





对数函数





其他常见函数







3、方法技巧



1、反函数存在性判断：一一对应四类函数判断





A、先求反函数的定义域求原函数的值域









2、求解反函数



B、反解



五类函数求法





C、写出反函数的解析式，并注明定义域











A、若函数yf(x)与yf

1

(x)互为反函数，若f(a)b，则f

1

(b)a



3、对称点问题







B、f(xa)情形



1



4、求证一个函数yf(x)的图像关于yx成轴对称图形，只须证明f(x)f(x)



反函数是否存在



1、反函数的学习，注意三点



反函数求解







反函数与其他知识点的交叉重要







4、

几个标注



2、求解一函数的反函数时



注意总结反解的技巧分离参数（为将来遇到函数综合题中的分离参数法积累足够基础）









原函数和反函数图像可能重合.

2