2024年5月25日发(作者：)

高中数学-反函数例题选讲

【例1】求下列函数的反函数：

3x51

(x≠－)．

2x12

(2)y＝x

2

－2x＋3，x∈(－∞，0]．

(1)y＝

1

(x≤0)．

2

x1





x+1(－1≤x≤0)

(4)y＝







－x(0＜x≤1)

(3)y＝

3x513

(x≠－)，∴y≠，

2x122

解 (1)∵y＝

由y＝

3x5

得(2y－3)x＝－y－5，

2x1

y5y53

∴x＝所求反函数为y＝(x≠)．

32y32y2

解 (2)∵y＝(x－1)2＋2，x∈(－∞，0]其值域为y∈[2，＋∞)，

由y＝(x－1)

2

＋2(x≤0)，得x－1＝－y2，即x＝1－y2

∴反函数为f

1

(x)＝1－x2，(x≥2)．

1

(x≤0)，它的值域为0＜y≤1，

2

x1

11y

由y＝

2

得x＝－，

y

x1

解 (3)∵y＝

∴反函数为f

1

(x)＝－

1x

(0＜x≤1)．

x

解 (4)由y＝x1(－1≤x≤0)，

得值域0≤y≤1，反函数f

1

(x)＝x

2

－1(0≤x≤1)．

由y＝－x(0＜x≤1)，

得值域－1≤y＜0，反函数f

1

(x)＝x

2

(－1≤x＜0)，

2





x－1(0≤x≤1)

故所求反函数为y＝



2

．



(－1≤x＜0)



x

【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．

(1)y＝x1－1(2)y＝－3x

2

－2(x≤0)

解 (1)∵已知函数的定义域是x≥1，∴值域为y≥－1，

由y＝x1－1，得反函数y＝(x＋1)

2

＋1(x≥－1)．

函数y＝x1－1与它的反函数y＝(x＋1)

2

＋1的图像如图2．4－1所示．

解 (2)由y＝－3x2－2(x≤0)得值域y≤－2，