2024年5月17日发(作者：)

一、傅立叶变化的原理；

（1）原理

正交级数的展开是其理论基础！将一个在时域收敛的函数展开成一系列不同

频率谐波的叠加，从而达到解决周期函数问题的目的。在此基础上进行推广，从

而可以对一个非周期函数进行时频变换。

从分析的角度看，他是用简单的函数去逼近（或代替）复杂函数，从几何的角度

看，它是以一族正交函数为基向量，将函数空间进行正交分解，相应的系数即为

坐标。从变幻的角度的看，他建立了周期函数与序列之间的对应关系；而从物理

意义上看，他将信号分解为一些列的简谐波的复合，从而建立了频谱理论。

当然Fourier积分建立在傅氏积分基础上，一个函数除了要满足狄氏条件外，一

般来说还要在积分域上绝对可积，才有古典意义下的傅氏变换。引入衰减因子

e^(-st)，从而有了Laplace变换。（好像走远了）。

（2）计算方法

连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数

形式。

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为

即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。

一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数

和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。

二、傅立叶变换的应用；

DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的

是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，

即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变

换的快速算法。）。

（1）、频谱分析

DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离

散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到

DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频

谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度

并加窗可以抑制频谱泄漏。

（2）、数据压缩

由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、

音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高

频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量

的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储

存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号。

（3）、OFDM

OFDM（正交频分复用）在宽带无线通信中有重要的应用。这种技术将带宽为N

个等间隔的子载波，可以证明这些子载波相互正交。尤其重要的是，OFDM调制

可以由IDFT实现，而解调可以由DFT实现。OFDM还利用DFT的移位性质，在每

个帧头部加上循环前缀（Cyclic Prefix），使得只要信道延时小于循环前缀的长

度，就能消除信道延时对传输的影响。

三、傅里叶变换的本质；

傅里叶变换的公式为



F

(



)





f

(

t

)

e



j



t

dt

可以把傅里叶变换也成另外一种形式：