2024年5月17日发(作者：)

一、概述

随着科技的发展，数学在各个领域中都扮演着非常重要的角色。微

分方程作为数学中的一个重要分支，在物理、工程、生物等领域都有

着广泛的应用。而 MATLAB 作为一个强大的数学软件工具，可以帮助

我们快速高效地求解各种类型的微分方程组，从而为各领域的研究和

应用提供有力的支持。本文将详细介绍如何使用 MATLAB 求解常微分

方程组的方法及步骤。

二、常微分方程组的定义

常微分方程组是指这样一类微分方程组：一个或多个未知函数及其

导数的方程组。一般形式为：dx1/dt=f1(t,x1,x2,...,xn),

dx2/dt=f2(t,x1,x2,...,xn),..., dxn/dt=fn(t,x1,x2,...,xn)。其中

x1,x2,...,xn 是未知函数，t是自变量，f1,f2,...,fn 是关于 t 和

x1,x2,...,xn 的已知函数。

三、求解常微分方程组的方法

MATLAB 提供了多种方法来求解常微分方程组，常用的方法有：欧

拉法、四阶龙格库塔法、常微分方程组函数 ode45、ode23、

ode113 等。下面将分别介绍各种方法的具体步骤。

四、使用欧拉法求解常微分方程组

欧拉法是一种简单粗糙的数值解法，通过分割等间距的步长满足微

分方程初值问题。其具体步骤如下：

1. 定义微分方程组的初始条件和步长：x0=[x1(0),x2(0),...,xn(0)],

h=步长。

2. 使用欧拉法逐步逼近微分方程组的解：

for i=1:N

t(i)=t(i-1)+h;

x(:,i+1)=x(:,i)+h*f(t(i),x(:,i));

end

其中 x(:,i)=[x1(i),x2(i),...,xn(i)] 为微分方程组在第 i 个时间节点的解。

五、使用四阶龙格库塔法求解常微分方程组

四阶龙格库塔法是一种常用的数值解法，通过多次近似来计算微分

方程组的数值解。其具体步骤如下：

1. 定义微分方程组的初始条件和步长：x0=[x1(0),x2(0),...,xn(0)],

h=步长。

2. 使用四阶龙格库塔法逐步逼近微分方程组的解：

for i=1:N

t(i)=t(i-1)+h;

k1=h*f(t(i),x(:,i));

k2=h*f(t(i)+h/2,x(:,i)+k1/2);

k3=h*f(t(i)+h/2,x(:,i)+k2/2);

k4=h*f(t(i)+h,x(:,i)+k3);

x(:,i+1)=x(:,i)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

end

其中 k1,k2,k3,k4 是龙格库塔法中的辅助变量。

六、使用 MATLAB 的 ode45 函数求解常微分方程组

MATLAB 中的 ode45 函数是一个非常常用的求解常微分方程组的

函数，它采用自适应步长的四阶龙格库塔法来求解微分方程组。其使

用方法如下：

[t,x]=ode45(f,[t0,tend],x0);

其中 f 是微分方程组的函数句柄，[t0,tend] 是求解的时间区间，x0

是微分方程组的初始条件，t 是求解的时间节点，x 是微分方程组的数

值解。

七、使用 MATLAB 的 ode23 和 ode113 函数求解常微分方程组

MATLAB 中的 ode23 和 ode113 函数也是常用的求解常微分方程

组的函数，它们采用自适应步长的低阶龙格库塔法来求解微分方程组。

其使用方法与 ode45 类似，具体参数和返回值也相似，这里不再赘述。

八、实例演示

我们将通过一个实际的例子来演示如何使用 MATLAB 求解常微分

方程组。假设我们要求解如下的二阶线性常微分方程组：

x''(t)+2*x'(t)+x(t)=0, x(0)=1, x'(0)=0。

其中 x''(t) 表示 x(t) 的二阶导数，x'(t) 表示 x(t) 的一阶导数。我们

可以将该二阶微分方程转化为一组一阶微分方程：

y1(t)=x(t), y2(t)=x'(t), 则有 y1'(t)=y2(t), y2'(t)=-2*y2(t)-y1(t)。

我们可以通过 MATLAB 的 ode45 函数求解该常微分方程组，具体

步骤如下：

1. 定义微分方程组的函数句柄：

function dy=f(t,y)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=y(2);

dy(2)=-2*y(2)-y(1);

end

2. 定义微分方程组的初值条件和时间区间，然后调用 ode45 函数

进行求解：

t0=0; tend=10; y0=[1,0];

[t,y]=ode45(f,[t0,tend],y0);

3. 绘制微分方程组的数值解曲线：

plot(t,y(:,1));

九、总结

本文详细介绍了如何使用 MATLAB 求解常微分方程组的方法和步

骤，包括欧拉法、四阶龙格库塔法、ode45 函数以及 ode23 和

ode113 函数的使用。通过一个实际的例子演示了 MATLAB 求解常微

分方程组的具体过程。希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握在

MATLAB 中求解常微分方程组的技术。