2024年5月2日发(作者：)

《函数的概念及其表示》教案

第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）

教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在

此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了

解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，

y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、

列表法、图象法.

二、讲授新课：

1.教学函数模型思想及函数概念：

①给出三个实例：

A.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与

时间t（秒）的变化规律是

h130t5t

2

.

B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧

层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）

C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）

②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这

样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关

系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：

f

:

AB

③定义：设A

、

B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个

数x，在集合B中都有唯一确定的数

f(x)

和它对应，那么称

f

:

AB

为从集合A到集合B的

一个函数（function），记作：

yf(x),xA

.

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，

函数值的集合

{f(x)|xA}

叫值域（range）.

④讨论：值域与B的关系？构成函数的三要素？

一次函数

yaxb(a0)

、二次函数

yax

2

bxc(a0)

的定义域与值域？

⑤练习：

f(x)x

2

2x3

，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。→求

yx

2

2x3,x{1,0,1,2}

值

域.

2.教学区间及写法：

① 概念：设a、b是两个实数，且a

{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间； {x|a

{x|a≤x

② 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”

③ 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x

④ 用区间表示：函数y＝

x

的定义域 ，值域是 。 （观察法）

3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示

三、巩固练习： 1. 已知函数f(x)=3x

2

＋5x－2,求f(3)、f(-

2

)、f(a)、f(a+1)

2. 探究：举例日常生活中函数应用模型的实例. 什么样的曲线不能作为函数的图象？

3. 课堂作业：书P21 1、2题.

第二课时： 1.2.1 函数的概念（二）

教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；掌握判别两个

函数是否相同的方法。

教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。

教学难点：值域求法。

教学过程：

一、复习准备：

3x

2

1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为什么？

x

k

2. 用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax

2

＋bx＋c、y＝的定义域与值域.

x

二、讲授新课：

1.教学函数定义域：

①出示例1：求下列函数的定义域（用区间表示）

f(x)=

x3

x

2

2

； f(x)=

2x9

； f(x)=

x1

－

x

2x

学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）

②练习：求定义域（用区间）→

1

x2

f(x)＝

3x4

； f(x)＝

9x

＋

x3

x4

③小结：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）

2.教学函数相同的判别：

x

3

2

①讨论：函数y=x、y=(

x

)、y=

2

、y=

4

x

4

、y=

x

2

有何关系？

x

②练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

A. f ( x ) = (x －1)

0

；g ( x ) = 1 ; B. f ( x ) = x； g ( x ) =

、

x

2

x

2

C．f ( x ) = x

2

；f ( x ) = (x + 1)

2

D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) =

②小结：函数是否相同，看定义域和对应法则。

3.教学函数值域的求法：

① 例2：求值域（用区间表示）：y＝x

2

－2x＋4；y＝

5

x2

；f(x)＝

x

2

3x4

；f(x)＝

x3

x3

先口答前面三个 → 变第三个求 → 如何利用第二个来求第四个

②小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法

1

1

三、巩固练习： 1.求下列函数定义域：

f(x)1x

；

f(x)

11/x

x4

x1

，求f(f(x))

x1

解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法） 解法二：先求f(x)，利用凑配法；

解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求。（特殊值法）

3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是 。

2

4.求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域。

解法（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域

5.课堂作业：书P27 1、2、3题。

第三课时： 1.2.2 函数的表示法（一）

2. 已知f(x+1)＝2x－3x＋1，求f(-1)。 变：

f(x)

2