2024年5月2日发(作者：)

20XX年复习资料

大

学

复

习

资

料

专 业：

班 级：

科目老师：

日 期：

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第4章 不定积分

内容概要

名称

主要内容

不

定

积

分

的

概

念

设

f(x)

，

xI

，若存在函数

F(x)

，使得对任意

xI

均有

F



(x)f(x)

或

dF(x)f(x)dx

，则称

F(x)

为

f(x)

的一个原函数。

f(x)

的全部原函数称为

f(x)

在区间

I

上的不定积分，记为



f(x)dxF(x)C

注：（1）若

f(x)

连续，则必可积；（2）若

F(x),G(x)

均为

f(x)

的原函数，则

F(x)G(x)C

。故不定积分的表达式不唯一。

性

质

性质1：

性质2：

性质3：

计

算

方

法

d



f(x)dx



f(x)dx

；

f(x)dx



f(x)

或

d











dx

不

定

积

分



F



(x)dxF(x)C

或



dF(x)F(x)C

；



[



f(x)



g(x)]dx





f(x)dx





g(x)dx

，



,



为非零常数。

设

f(u)

的 原函数为

F(u)

，

u



(x)

可导，则有换元公式：

第一换元

积分法

（凑微分

法）

第二类

换元积

分法

分部积分法

有理函数积

分



f(



(x))





(x)dx



f(



(x))d



(x)F(



(x))C

设

x



(t)

单调、可导且导数不为零，

f[



(t)]





(t)

有原函数

F(t)

，

则



f(x)dx



f(



(t))





(t)dtF(t)CF(



1

(x))C



u(x)v



(x)dx



u(x)dv(x)u(x)v(x)



v(x)du(x)

若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分

式的处理按情况确定。

本章

在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原

的地

函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决

位与

都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上

作用

讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的

快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢

慢体会到！

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