2024年5月2日发(作者：)

不定积分

内容概要

名

称

不

设

f(x)

，

xI

，若存在函数

F(x)

，使得对任意

xI

均

定

有

F



(x)f(x)

积

或

dF(x)f(x)dx

，则称

F(x)

为

f(x)

的一个原函数。

分

f(x)

的全部原函数称为

f(x)

在区间

I

主要内容

上的不定积分，

的 记为

概



f(x)dxF(x)C

为

f(x)

的原函数，则

F(x)G(x)C

。故不定积分的表

达式不唯一。

（1）若

f(x)

连续，则必可积；（2）若

F(x),G(x)

均

念

注：

性

性质1：

d



f(x)dx



f(x)dx

；

f(x)dx



f(x)

或

d











dx

质

性质2：



F



(x)dxF(x)C

或



dF(x)F(x)C

；

性质3：



[



f(x)



g(x)]dx





f(x)dx





g(x)dx

，



,



为非

零常数。

计

设

f(u)

的 原函数为

F(u)

，

u



(x)

可导，则有

算 第一换换元公式：

不

方 元

定

法 积分法

积

分

（凑微

分法）



f(



(x))





(x)dx



f(



(x))d



(x)F(



(x))C

第二类

设

换元积

分法

x



(t)

单调、可导且导数不为零，

有原函数

F(t)

f[



(t)]





(t)

，则



f(x)dx



f(



(t))





(t)dtF(t)CF(



1

(x))C

分部积



u(x)v



(x)dx



u(x)dv(x)u(x)v(x)



v(x)du(x)

分法

有理函若有理函数为假分式，则先将其变为多项

数积分 式和真分式的和；对真分式的处理按情况

确定。

本在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分

章 的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程

的无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，

地 最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程

位更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积

与 分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题

作会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一

用 章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢

体会到！

课后习题全解

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1)



dx

x

2

x

1

x

2

思路: 被积函数

解：



dx

x

2



5

2

x

x

3



5

2

，由积分表中的公式（2）可解。

2







xdxx

2

C

3

x

1

x

)dx

★(2)



(

3

x

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：



(x)dx



(xx)dx



xdx



xdx

3

x

3

2x

2

C

4

x

3



1

1

3

1

2

1

3

1

2

4

1

★(3)



（2

x

x

2

）dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。