2024年5月2日发(作者：)

乘法的积分

在传统教科书上形如



f(x)g(x)dx

的积分一般采用分部积分法，这种方

法过于抽象，过于逻辑化，不适合电大学生，这里介绍乘法的表格算

法，它直观，机械，易学，是积分学理论的重大贡献。

一.

乘法积分的表格形式

乘法积分的表格形式固定为三列，三列的次序固定，不能随便更

改，第一列为符号列，第二列为求导列，第三列为积分列。

二.

乘法积分的计算步骤

1.列表

第一步：在



f(x)g(x)dx

中选择

f(x

)准备求导，选择g(x)准备积

分，作表格如下：

符号列 求导列 积分列

f (x) g (x)

f

/

(x)



g(x)dx

第二步：添箭头：

从求导列到积分列添箭头，相邻两行间用左上右下的斜箭头，最

后一行用横箭头，形成如下的形状：

符号列 求导列 积分列

f (x) g (x)

f

/

(x)



g(x)dx

第三步：添符号：符号正负相间，第一行添“+”号，第二行

添“-”号，如此类推….. 形成如下的形状

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符号列 求导列 积分列

+

f (x) g (x)

-

f

/

(x)



g(x)dx

2. 写结果，规律如下：

①每个箭头表示一项，所有项相加

②斜箭头表示积分计算的部分结果，由箭头右端函数，箭头左

端函数以及前面的符号三部分相乘得到；横箭头表示积分，被积

函数由箭头右端函数，箭头左端函数以及前面的符号三部分相乘

得到

三.

例题

例1. 计算



x

2

e

x

dx

解：[第一步] 选择x

2

用于求导，

e

x

用于积分，列表

符号列 求导列 积分列

x

2

e

x

[第二步] 按横栏提示逐行计算，成如下形状：

符号列 求导列 积分列

x

2

e

x

2x

e

x

2

e

x

0

e

x

…………………..（*）

[第三步]，添箭头，添符号成如下形状：

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符号列 求导列 积分列

+ x

2

e

x

- 2x

e

x

+ 2

e

x

- 0

e

x

[第四步] 写结果

∴



x

2

e

x

dx

= x

2

e

x

+（-2x

e

x

）+2

e

x

+



0dx

= x

2

e

x

+-2x

e

x

+2

e

x

+c

你不应该像看小说那样看以上过程，而是应该拿起笔和我们一起

运算，,边算边想，你也许注意到[第二步] （*）处多少让你不踏实，

应为0还可以求导，

e

x

还可以积分，没完没了，奈何？

三种刹车机制

乘法积分中出现下列三种情形之一时，[第二步] （*）运算停止

1.

2.

3.

例2.

求导数到0时

横乘为基本函数时

横乘与原积分同形时。

计算



xsinxdx

符号列 求导列 积分列

x sinx

1 -cosx

0

-sinx………………..(*)

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由于求导数为0，所以表格计算结束（因为0还能求导，

-sinx还能积分，如此便没完没了…….，编程中必须结束，让

计算机停止这类运算）

添箭头，添符号成如下形状：

符号列 求导列 积分列

+ x sinx

- 1 -cosx

+ 0 -sinx…

所以



xsinxdx

= -xcosx + (-)(-sinx) +



0dx

= -xcosx + sinx)+c

例3.

计算



xlnxdx

解：注意到这是乘法的积分，故采用列表法计算

符号列 求导列 积分列

x lnx

如果像上面这样设置，x求导痛快了，但



lnxdx

不容易，这种

设置就是失败的。设置时要求求导。积分都要简单易行。故该设置如

下：

符号列 求导列 积分列

lnx x

1

x

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1

2

x

………………(*)

2

此时表格运算应停下来，因为横乘起来*

x

2

=

x

是基本函数。

添箭头，添符号成如下形状：

符号列 求导列 积分列

+ lnx x

1

x

1

2

1

2

-

x

2

11

x2

11

=

x

2

lnx -

x

2

+c

24

1

x

1

2

所以



xlnxdx

=

x

2

lnx +



()*x

2

dx

1

2

同理可计算



x

k

lnxdx

这类积分

例4.

计算



e

x

cosxdx

解：注意到这是乘法的积分，故采用列表法计算

符号列 求导列 积分列

e

x

cosx

e

x

sinx

e

cosx…………..(*)

x

-

此时表格运算应停下来，因为横乘起来表示积分=



e

x

cosxdx

与原积

分同形，只是系数不同。

添箭头，添符号成如下形状：

符号列 求导列 积分列

+ e

x

cosx

- e

x

sinx

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+ e

x

- cosx

所以



e

x

cosxdx

= e

x

sinx+ （-）e

x

（- cosx）+



e

x

cosxdx

∴ = e

x

sinx + e

x

cosx -



e

x

cosxdx

移项：有2



e

x

cosxdx

= e

x

sinx + e

x

cosx



e

x

cosxdx

= （e

x

sinx + e

x

cosx）+c

1

2

（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力

就一定可以获得应有的回报）

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