2024年5月1日发(作者：)
蒙特卡罗方法
一、蒙特卡罗方法概述
蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期
由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非
常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
法。与它对应的是确定性算法这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试
验与研制中得到了应用。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。
它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点
及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。蒙
特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、
空气动力学计算)等领域应用广泛。
1．历史起源
蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的
成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的
Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已
经存在。1777年，法国Buffon提出用投针实验的方法求圆周率∏。这被认为是蒙特卡罗方
法的起源。
2. 蒙特卡罗方法的基本思想
二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种
独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。但其基本思想并非新颖，
人们在生产实践和科学试验中就已发现，并加以利用。
当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、
数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干
个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学期望就是某个事件的概率。或者说，某种事
件的概率也是随机变量（仅取值为1或0）的数学期望。因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方
法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随
机变量
ｇ
(r)的数学期望
E(g)g(r)f(r)dr
0
通过某种试验，得到
Ｎ
个观察值r1，r2，…，rN（用概率语言来说，从分布密度函数
f(r)中抽取
Ｎ
个子样r1，r2，…，rN，），将相应的
Ｎ
个随机变量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)
的算术平均值
1
N
g
N
g(r
i
)
N
i1
作为积分的估计值（近似值）。
为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的
试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却
很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机
来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛
地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。
经典算例及计算机模拟试验过程
例1. 蒲丰氏问题
为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根
针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（ l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，
再利用准确的关系式
2l
P
a
求出π值
2l2lN
()
aPan
其中
Ｎ
为投计次数，n为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
解：设针投到地面上的位置可以用一组参数（x,θ）来描述，x为针中心的坐标，θ为针
与平行线的夹角，如图所示。
针在平行线间的位置
任意投针，就是意味着x与θ都是任意取的，但x的范围限于［0，a］，夹角θ的范围
限于［0，π］。在此情况下，针与平行线相交的数学条件是
xlsin
如何产生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在［0，a］上是均匀分布的，
其分布密度函数为：
1/a,0xa
f
1
(x)
其他
0,
类似地，θ的分布密度函数为：
1/
,0
f(
)
2
其他
0,
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