2024年4月30日发(作者：)

数学模型：

设连续型随机变量X的高斯分布的概率密度为

1

f



x



e

2



(x



)

2

2



2

,

-



＜

x

＜+



(3-1)

其中



，



（



＞0）为常数，则称X服从参数为



，



的正态分布或高斯(Gauss)分

2





布，记为X～N（，)。均值和方差的计算见公式3-2和公式3-3所示，可得到正态分

布随机变量X的均值E(X)=



和方差D(X)=



。

2

E(X)







xf(x)dx

(3-2)

D(X)







x

2

f(x)dx

(3-3)

E(X)







xf(x)dx

1

e

2



(x



)

2

2



2

x











x



dx

令



t

，则

t



1

E(X)



(



t



)e

2





dt



2





2

22











tt





11

te

2

dt







e

2

dt



2



2



0







根据方差的定义可知：

2

D(X)E{[XE(X)]}

2

D(X)E{[XE(X)]}

所以，



1

2





(x



)e



2





(x



)

2

2



2

dt

t



1

22







te

2





dt



2





2

1



t

2

22







tedt



2





2

2





即知正态分布的两个参数分别是该分布的数学期望和方差。

中心极限定理：

设随机变量

X

1

,X

2

,,X

n

相互独立，服从同一分布，且具有相同的均值和方差:

E(X

k

)



，

D(X

k

)



2

0(k1,2,,n)

，则随机变量

nnn

Y

n





X

k1

k

E(



X

k

)

k1

n





X

k1

k

n



D(



X

k

)

k1

n



(3-4)

的分布函数

F

n

(x)

对于任意

x

都满足

limF

n

(x)limP{

k1

nn



X

n

k

n



x}



x

n





1

edt

2



(3-5)

t

2

2

即当n趋向于无穷大时，随机变量

Y

n

近似的服从标准正态分布N(0，l)。在实际应用中

当。大于等于30时，可以把

变量

Y

'



Y



X

i

i1

n

当作服从均值为n



，方差为n



的正态分布，那么

2

Yn



n



近似服从标准正态分布N～(0，l)。

Box-Muller变换法：

变换法是通过一个变换将一个分布的随机数变换成一个不同分布的随机数。高斯分布

的密度函数见公式3-1所示，通过Box-Muller变换，它可以产生精确的正态分布的随机

变量。其变换式如下:

y

1

2lnusin(2



v)

(3-6)

y

2

2lnucos(2



v)

(3-7)

式中u，v是在区间[0，1]上服从均匀分布，且相互独立的随机变量，所以得到的随机

变量

y

1

，

y

2

也应该是相互独立的，且服从N～(0，1)的标准正态分布。

Box-Muller变换的推导过程如下:

由公式3-6和公式3-7可得:

ue



22

y

1

y

2

2

,v

y

1

arctg(

1

)

2



y

2

(3-8)

因为

y

1

，

y

2

在区间（-∞，+∞）上是一一对应的，令

Ae

得:



22

y

1

y

2

2

，对

y

1

，

y

2

求雅可比式，

J

u

y

1

v

y

1

u

y

2

Ay

1

1



y

2

v

2



22

y

1

y

2

y

1

Ay

2

y

1

2

y

1

2

y

2

y

2

y



1

1



y

1



1

e

2

e

2

2



2



222

1



y

2

2

e

2



2

(3-9)

由等式

f

y

1

y

2

(y

1

,y

2

)Jf

uv

(u,v)

，且已知变量u，v在区间[0，1]上服从均匀分布且相互独

立，可得变量u，v的概率分布如公式3-10所示:



1 0u1,0v1

f

uv

(u,v)





0 u,v>1或u,v<0

(3-10)

由公式3-9和公式3-10，以及变量另

y

1

，

y

2

相互独立，可得:

1



y

2

1

f

y

1

(y

1

)e,

1

<+

2



(3-11)

2

2

1



y

2

2

f

y

2

(y

2

)e,

2

<+

2



(3-12)

从公式3-11和公式3-12可知，变量

y

1

，

y

2

在区间（-∞，+∞）服从标准正态分布，

即N～(O，l)。