2024年4月28日发(作者：)

专题04 指数函数与对数函数互为反函数

一、结论

若函数

yf(x)

是定义在非空数集

D

上的单调函数，则存在反函数

yf

1

(x)

.特别地，

ya

x

与

ylog

a

x

（

a0

且

a1

）互为反函数.

在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于

yx

对称，即

(x

0

,f(x

0

))

与

(f(x

0

),x

0

)

分别在函

数

yf(x)

与反函数

yf

1

(x)

的图象上.

1

若方程

xf(x)k

的根为

x

1

，方程

xf(x)k

的根为

x

2

，那么

x

1

x

2

k

.

二、典型例题

1.若实数

a

满足

ex20

,实数

b

满足

lnxx20

,则

ab

x

解析：同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图像关于

yx

对称，可知

xa

是函数

ye

和

x

同理

xb

是函数

ylnx

与

yx2

交点的横坐标，且

yx2

与

yx

垂

yx2

交点的横坐标，

直，作出图像如下



yx

x1

，所以

xa

，

xb

关于

x1

对称，所以

ab2



yx2



【反思】对于利用反函数解题问题，首先要判断题目中两个函数互为反函数，然后再重复利用结论：若方

程

xf(x)k

的根为

x

1

，方程

xf

1

(x)k

的根为

x

2

，那么

x

1

x

2

k

.可快速解题.

2.设点

P

为曲线

C

1

上的动点，

Q

为曲线

C

2

上的动点，则称

|PQ|

的最小值为曲线

C

1

，

C

2

之间的距离，记

x

为：

d(C

1

,C

2

)

.若

C

1

:e2y0

，

C

2

:lnxln2y

，则

d(C

1

,C

2

)d(C

1

,C

2

)

e

x

e

x

解析：

y

和

yln2x

互为反函数，关于

yx

对称，设与

yx

平行的直线

l

1

，

l

2

分别与

y

，

22

e

x

e

x

yln2x

相切于点

M

,

N

,则

d(C

1

,C

2

)|MN|

,由

y

得

y



1xln2

，即

M(ln2,1)

，由

22

yln2x

得

y





1

1x1

x

，即

N(1,ln2)

，所以

d(C

1

,C

2

)|MN|(1ln2)

2

(ln21)

2

2(1ln2)

【反思】反函数问题的重点就是图象关于

yx

对称，这也是解题的关键，在利用反函数解题时，注意配图，

在图象中寻找解题突破口，数形结合.

三、针对训练

举一反三

x

1.已知

x

1

是方程

x24

的根，

x

2

是方程

xlog

2

x4

的根，则

x

1

x

2



解析：

x2

x

4

，



2

x

4x

，



x

1

是

y2

x

与

yx4

交点的横坐标，又

xlog

2

x4

，



log

2

x4x

，



x

2

是

ylog

2

x

与

yx4

交点的横坐标.

又

y2

与

ylog

2

x

互为反函数，其图象关于

yx

对称，由



x



yx

x2

,



yx4



x

1

x

2

2x

1

x

2

4

2

x

2.已知

x

1

是方程

xlgx3

的一个根，

x

2

方程

x103

的一个根，则

x

1

x

2



x

x

10x3

.令：

f(x)lgx

，

g(x)10

，

h(x)3x

，解析：将已知的两个方程变形得

lgxx3

，

画出它们的图象，如图：

x

记函数

f(x)lgx

与

h(x)3x

的交点为

A(x

1

,y

1

)

，

g(x)10

与

h(x)3x

的图象的交点为

B(x

2

,y

2

)

，由于

f(x)lgx

与

g(x)10

x

互为反函数，所以

A(x

1

,y

1

)

与

B(x

2

,y

2

)

两点关于直线

yx

对



yx

3

3

xx

称，由



x



12

x

1

x

2

3

22

2



h(x)x3

x

1

1

2

3.已知函数

f(x)kx

，

x[,e]

，

g(x)()

，若

f(x)

，

g(x)

图象上分别存在点

M,N

关于直线

yx

e

e

对称，则实数

k

的取值范围为（ ）

A.

[,e]

B.

[

答案:B

x

1

1

2

解析：

g(x)()

的反函数为

y2lnx

，设

M(m,km)

，

m[,e]

，则点

M(m,km)

在

y2lnx

上，

e

e

1

e

232

,2e]

C.

[,3e]

D.

(,2e)

eee

即：

km2lnm

，

k

2lnm2lnx122

k2e

. ，令

m(x)

，

x[,e]

，解得

m(x)2e

，即：

mxeee

4.若

x

1

是方程

xe

x

e

3

的解，

x

2

是方程

xlnxe

3

的解，则

x

1

x

2



（）

A.

e

B.

e

2

C.

e

3

D.

e

4

答案:C

e

3

e

3

e

3

x

解析由题意知

x

1

是方程

e

的解，

x

2

是方程

lnx

的解，即

x

1

是函数

ye

与函数

y

交点的横

xxx

x

e

3

x

坐标，

x

2

是

ylnx

与函数

y

交点的横坐标，因为函数

ye

与函数

ylnx

互为反函数，图象关于

x

3

e

3

e

3

e

yx

对称，所以

x

1

等于函数

ylnx

与函数

y

交点的纵坐标即：

x

1



，所以

x

1

x

2

x

2

e

3

.

x

2

x

2

x

5.已知实数

a,b

满足

a10

7a

，

lgb10

答案

ab10

4

解析：因为

a10

7a

4lgb

3

，则

ab

.

lga7a

，所以

a

是方程

lgx7x

的根；又因为

lgb10

4lgb

310

4lgb

7(4lgb)

，所以

4lgb

是方程

10

x

7x

的根；

又因为

ylgx

与

y10

互为反函数，其图象关于

yx

对称，且直线

yx

与

y7x

的交点的横坐标

x

为

7a(4lgb)7

a(4lgb)7

，又因为

lga7a

，所以： ，所以

222

(7lga)(4lgb)7lg(ab)4ab10

4

.

6.已知实数

p,q

满足

2

p

p5

，

log

2

A.1 B. 2 C.3 D.4

答案:C

由

2p5

，则

25p

，由

log

2

pp

q1q1

，则

p2q

（）

1

q1q1

，则

log

2

(q1)q1

，即：

log

2

(q1)2q2

，

2

x

则

[log

2

(q1)1]2q3

，

log

2

(2q2)(2q2)5

，所以

log

2

(2q2)5(2q2)

，令

y2

，

ylog

2

x

，

y5x

则方程

2

p

5p

的解即为函数

y2

x

与

y5x

的交点的横坐标，方程

log

2

q1q1

，即关于

(2q2)

的方程

log

2

(2q2)5(2q2)

的解，就是

ylog

2

x

与

y5x

x

的交点的横坐标，因为：

y2

与

ylog

2

x

互为反函数，它们的图象关于

yx

对称，所以函数

yx

与

y5x

的交点

M

为

y2

x

与

y5x

交点和

ylog

2

x

与

y5x

交点的中点，如图：

5



x



y5x





55

2





联立：



即

M(,)

，所以

p(2q2)5p2q3

22



yx



y

5



2