2024年4月28日发(作者：)

§2.1.2 指数函数及其性质

【入门向导】 指数函数图象诗歌鉴赏

多个图象像束花，(0,1)这点把它扎．

撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹．

x＝1为判底线，交点y标看小大．

重视数形结合法，横轴上面图象察．

此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指

数函数图象的特点牢记于心．

如图所示的就是上面举的指数函数的图象．不难看出，它们就像一束花．每个指数函数

的图象都经过(0,1)这点，所以说“(0,1)这点把它扎”就顺理成章了．

对于指数函数的图象来说，“撇增捺减”就绝对是事实．当a>1时，从左往右看指数函数

y＝a

x

的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数y＝a

x

是增函数；当0

从左往右看指数函数y＝a

x

的图象是下降的，类似于汉字的捺，这时，指数函数y＝a

x

是减

11

函数．由y＝2

x

和y＝()

x

的图象，可以看出它们是关于y轴对称的．而底数2与是倒数，

22

1

所以自然而然地得到“底互倒时纵轴夹”，这也可以从y＝3

x

和y＝()

x

的图象中得到充分的体

3

现．

解读指数函数图象的应用

一、要点扫描

学习指数函数要记住图象，理解图象，由图象能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a

对于函数值变化的影响，对于a>1与0

须利用图象，数形结合．

二、指数函数的图象及性质

图

象

图

象

a>1 0

图象分布在一、二象限，与y轴相交，落在x轴的上方

都过点(0,1)

特

征

第一象限的点的纵坐标都大于1；

第二象限的点的纵坐标都大于0且小于

1

从左向右图象逐渐上升

第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；

第二象限的点的纵坐标都大于1

从左向右图象逐渐下降

定义域为R

值域为(0，＋∞)

性

质

图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1

x>0⇔y>1；

x<0⇔0

在R上是增函数

三、图象应用

1．比较大小

1

例1 若a<0，则2

a

，()

a,

0.2

a

的大小顺序是________．

2

x>0⇔0

x<0⇔y>1

在R上是减函数

1

解析 分别作出函数y＝2

x

，y＝()

x

和y＝0.2

x

的图象，如图所示，从图象可以看出，当

2

1

a<0时，有0.2

a

>()

a

>2

a

.

2

1

答案 0.2

a

>()

a

>2

a

2

点评 本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0,1)或特

征线y＝1及指数函数图象的走向正确作图：当a>1时，底数a越大图象越陡；当0

底数a越小图象越陡．

2．求解方程根的问题

例2 确定方程2

x

＝－x

2

＋2的根的个数．

解 根据方程的两端分别设函数f(x)＝2

x

，g(x)＝－x

2

＋2.

在同一坐标系中画出函数f(x)＝2

x

与g(x)＝－x

2

＋2的图象，如图所示．

由图可以发现，二者仅有两个交点，