2024年4月28日发(作者：)

指数函数与对数函数恒过定点问题练习题

1.已知函数f（x）＝

log

a

2.函数f（x）＝4+

log

a

(2x1)

(a＞0，a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是 ．

(x1)

的图象恒过定点P，则P的坐标是 ．

+1（a＞0且，a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是 ．

(x1)

3.已知函数f（x）＝

log

a

(x2016)

4.已知函数f（x）＝1+

log

a

（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，又点P的坐标满足方程mx+ny

＝1，则mn的最大值为 ．

(2x1)

5.设a＞0且a≠1，函数f（x）＝

log

a

+1的图象恒过定点P，则P的坐标是（ ）

A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣x|﹣2＜x＜0，1，﹣1）

6.给出函数f（x）＝a

2x﹣1

+2（a为常数，且a＞0，a≠1），无论a取何值，函数f（x）恒过定点P，

则P的坐标是（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（，3）

7.已知函数f（x）＝a

2x﹣4

-3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ ）

A．（0，-3） B．（1，-3） C．（0，-2） D．（2，-2）

8.已知函数f（x）＝（a+1）

2﹣x

（a＞﹣1，且a≠0）的图像恒过定点P，则P的坐标是 ．

x﹣1

9.已知函数f（x）＝3+2a的图象恒过定点P，则点P的坐标是 ．

10.已知函数f（x）＝a

x﹣1

+x

a

+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 ．

(x2)

11.已知函数f（x）＝

log

a

+1（常数a＞0且a≠1）的图象恒过定点P．（1）写出定点P的坐

标；（2）求函数f（x）在区间[3，5]上的最大值．

12.已知函数f（x）＝a

x﹣1

﹣1（a＞0且a≠1）（1）若函数y＝f（x）的图象恒过定点P，求点P

的坐标；（2）若f（

lg

a

）＝99，求a的值．

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指数函数与对数函数恒过定点问题练习题参考答案

1.分析：定点即为：点的坐标与a的取值无关，由对数函数的性质可知，只要令2x﹣1＝1即可．

解：根据题意：令2x﹣1＝1，解得x＝1，∴P点横坐标x＝1，此时纵坐标y＝0，∴定点坐标是

（1，0）．

2.分析：令对数的真数等于1，求得对应的（x，y）值，即为曲线经过定点的坐标．

解：对于函数f（x）＝4+log

a

（x﹣1），令x﹣1＝1，可得x＝2，y＝4，故它的图象恒过定点P（2，

4）．

3.分析：由log

a

1＝0，知x﹣2016＝1，即x＝2017时，y＝1，由此能求出点P的坐标．

解：∵log

a

1＝0，∴x﹣2016＝1，即x＝2017时，y＝1，∴点P的坐标是P（2017，1）．

4.分析：根据对数函数的性质先求出P的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用基本不等

式求解即可．

解：∵x＝2时，y＝1，∴函数y＝log2（x﹣1）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1）,即

P（2，1），∵点P在直线mx+ny＝1上，∴2m+n＝1，∵mn有最大值，∴mn＞0，由基本不等式可

得，1＝2m+n≥2，∴mn，当且仅当2m＝n＝，即m＝，n＝时取等号，故答案为

5.分析：定点即为：点的坐标与a的取值无关，由对数函数的性质可知，只要令2x﹣1＝1即可．

解：根据题意：令2x﹣1＝1，∴x＝1，此时y＝1，∴定点坐标是（1，1）故选A．

6.分析：把已知的函数解析式变形，然后借助于函数图象的平移得答案．

解：∵f（x）＝a

2x﹣1

+2＝

∴

＝，而函数y＝（a

2

）

x

恒过定点（0，1），

）．故选D． 恒过定点（

7.分析：令幂指数等于0，求得x、f（x）的值，可得f（x）的图象恒过定点的坐标．

解：对于函数f（x）＝a

2x﹣4

-3（a＞0且a≠1），令2x﹣4＝0，求得x＝2，f（x）＝-2，可得函数

的图象恒过定点P（2，-2），故选D．

8.分析：把已知的函数解析式变形，然后借助于函数图象的平移得答案．

解：函数f（x）＝（a+1）

2﹣x

（a＞﹣1，且a≠0）的图像恒过定点P，令x＝2，则f（x）＝1，所

以P（2，1）.

9.分析：令x﹣1＝0求出x的值和此时y的值，从而求出点P的坐标．

解：令x﹣1＝0得：x＝1，此时y＝3+2a

0

＝3+2＝5，∴函数f（x）的图象恒过定点（1，5），即

点P（1，5）．

10.分析：根据指数函数的图象与性质，令x﹣1＝0求出x的值和对应y的值，得定点P的坐标．

解：函数f（x）＝a

x﹣1

+x

a

+2中，令x﹣1＝0，解得x＝1，y＝f（1）＝1+1+2＝4，f（x）的图象恒

过定点P（1，4）．

11.分析：（1）由对数函数y＝log

a

x的图象恒过（1，0）及函数的图象的平移即可求解．（2）对

a进行分类讨论，结合对数函数的图象和性质，可得函数f（x）在区间[3，5]上的最大值．

解：（1）对数函数y＝log

a

x的图象恒过（1，0），y＝1+log

a

（x﹣2）的图象可由数函数y＝log

a

x

的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，∴y＝1+log

a

（x﹣2）的图象经过定点（3，1）；

（2）当0＜a＜1时，函数f（x）＝log

a

（x﹣2）+1为减函数，故当x＝3时，函数f（x）取最大

值1，当a＞1时，函数f（x）＝log

a

（x﹣2）+1为增函数，故当x＝5时，函数f（x）取最大值

log

a

3+1．

12.分析（1）令x﹣1＝0，可得定点横坐标，代入解析式可得定点纵坐标；（2）把lga整体代入

解析式，再解关于a的方程即可．

解：（1）有指数函数的特点知，当x﹣1＝0时，即x＝1时，f（x）＝0，所以函数y＝f（x）的

图象恒过定点P（1，0）；（2）因为函数f（x）＝a

x﹣1

﹣1（a＞0且a≠1），所以f（

lg

a

）＝

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