2024年4月28日发(作者：)
专题13指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【学习目标】
1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的
增长差异．
2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．
3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意
识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．
【考点梳理】
考点一：几类函数模型的增长差异
一般地，对于指数函数
ya
x
(a1)
和幂函数
yx
(
0)
，通过探索可以发
现，在区间
0,
上，无论
比
a
大多少，尽管在
x
的一定范围内，
a
会小于
x
，但由
x
于
a
的增长快于
x
的增长，因此总存在一个
x
0
，当
xx
0
时，就会有
ax
．同样地，
对于对数函数
ylog
a
x
增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与
x
轴平行一样，尽管在
x
的
一定范围内，
log
a
x
可能会大于
x
，但由于
log
a
x
的增长慢于
x
的增长，因此总存在一个
x
x
x
0
，当
xx
0
时，就会有
log
a
xx
．
综上所述，在区间
0,
上，尽管函数
ya
x
(a1)
、
yx
(
0)
和
ylog
a
x(a1)
都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着
x
的增大，
ya
x
(a1)
的增长速度越来越快，会超过并远远大于
yx
(
0)
的增长速
度，而
ylog
a
x(a1)
的增长则会越来越慢，因此总会存在一个
x
0
，当
xx
0
时，就有
log
a
xx
a
x
.
三类函数模型增长规律的定性描述：
1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒
为常数）；
2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；
3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．
如图所示：
【微点拨】
当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．
考点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型
若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立
相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．
常用的函数模型有以下几类：
（1）线性增长模型：
ykxb(k0)
；（2）线性减少模型：
ykxb(k0)
．
（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数
yax
2
bxc(a0)
；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数
yax
2
bxc(a0)
．
（3）指数函数模型
，当
b1
时，为快速增长模型；
f(x)ab
x
c
（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）
当
0b1
时，为平缓减少模型．
（4）对数函数模型
；当
a1
时，为平缓增长模型；
f(x)mlog
a
xn
（m、n、a为常数，a＞0，a≠1）
当
0a1
时，为快速减少模型．
（5）反比例函数模型
y
k
(k0)
．当
k0
时，函数在区间
,0
和
0,
上都是减函数；当
k0
时，
x
函数在
,0
和
0,
上都是增函数．
（6）分段函数模型
当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．
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