2024年4月28日发(作者：)
指数函数、对数函数图像交点问题
反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角
度产生的，函数的反函数，本身也是一个函数。在实际教学过程中，
我们除了从定义的角度把反函数讲解清晰之外，譬如：从映射的角度
可知,函数y=f(x)是定义域集合A到值域C的映射,它的反函数
y
=
f
-
1
（
x
）是集合C到集合A的映射，再结合函数的定义可知，只有一一
映射的函数才存在反函数。我们还应该把握从抽象到直观，再从直观
到抽象相结合的传授知识的基本原则，给学生的一个形象、直观的认
识。正是基于这个原因，中学数学教材中引进了作为一种重要的函数
和互为反函数的典型例子的指数函数、对数函数。
一、分析反函数的定义可知，原函数与反函数图像如果有交点，
它们必然关于
y=x
对称；若原函数与直线
y=x
有交点，则反函数图像
也必与
y=x
相交且交点重合。
为了验证上面的结论，我分别给了学生以下几个例子
（1）
函数y2x1
与它的反函数
yx
图像只有一个交点
(1,1)
，且在
y=x
上。
1
2
1
2
（2）函数
yx
3
与它的反函数
yx
的图像有三个交点
(1,1)、(0,0)、(1,1)
，且都在
y=x
上。
1
3
（3）函数
y
的反函数是它自身，故反比例函数与它的反函数
(1,1)
在
y=x
上。引入此例是为图像有无数个交点，其中有两个
(1,1)、
1
x
了说明若原函数图像与反函数图像的交点不在
y=x
上则一定对称地、
成对出现在
y=x
两侧，因为太特殊，解释起来有点牵强，所以我们引
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进了第4个例子（是用一种引导的方式给出的）。
（4）若点
(1,2)
既在函数
yaxb
图像上，也在其反函数图像上，
求
a，b
的值。经过计算
a3,b7
，也就是说点
(1,2)、(2,1)
既在函数
y3x7
图像上，也在其反函数图像上，验证了我们上述的观点。
在学生从代数的角度验证、认同了这个结论后，为了给学生一个直观
的认识，我打算利用几何画板为学生演示一下，结果发现，在电脑屏
幕上不能清晰地显示图像的交点（如左下图）；把方程中的7改成8
之后，清晰地显示出了交点（图右下图）
至此，从数和直观的角度，学生对原函数与反函数图像的交点问
题有了一个初步的认识。
二、指数函数与对数函数：指数函数与对数函数互为反函数，在
研究对数函数性质时，我们完全可根据已经得到的指数函数的性质去
研究：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，以及自己独有的性
质，这其中就包括它们图像的交点问题。
先讨论当
a
>1时，函数
ya
x
与ylog
a
x
图
像的交点。
（1） 函数
y3
x
与ylog
3
x
的图像，如右图
没有交点
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