2024年4月28日发(作者：)
指数函数和对数函数
重点、难点：
重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数
y a
x
，y
log
a
x
在
a 1
及
0 a 1
两种不同情况。
1、指数函数：
y
定义：函数
aa
x
0
且a
1
叫指数函数。
定义域为
R
，底数是常数，指数是自变量。
0且
为什么要求函数
y
a
x
中的
a
必须
a
a
1
。
因为若
a
0
时，
y
4
1
x
，当
x
时，函数值不存在。
4
a
0
，
y
0
x
，当
x
0
，函数值不存在。
时，
y
x
a
1
1
对一切
x
虽有意义，函数值恒为
1，但
y
1
x
的反函数不存在，
因 为 要 求 函 数
y
a
x
中 的
a
0且 a 1
。
x
1、对三个指数函数
y
2
x
， y
1
，y
10
x
的图象的
2
认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（ 1）图象都位于
x
轴上方；
（ 1）
x
取任何实数值时，都有
a
x
0
；
2
0
1
x
0
（ ）图象都经过点（
，
）；
（ 2）无论
a
取任何正数，
时，
y
1
；
（ 3）
y
2
x
， y
10
x
在第一象限内的纵坐
x
0，则 a
x
1
（ 3）当
a
1
时，
标都大于
x
0，则 a
x
1
1，在第二象限内的纵坐标都小于
1，
x
x
的图象正好相反；
0，则 a
y
1
1
当
0
a 1
时，
x
2
x
0，则 a
x
1
（ 4）
y
2
x
， y 10
x
的图象自左到右逐渐（ 4）当
a
1
时，
y
a
x
是增函数，
1
上升，
y
1
x
当
0
a 1
时，
y
a
是减函数。
x
2
的图象逐渐下降。
对图象的进一步认识， （通过三个函数相互关系的比较）
①所有指数函数的图象交叉 相交于 点（ 0，1），如
y
的图象在
y
：
2
x
和
y
10
x
相交于
(0，1)
，当
x
2
2
及
10
2
0
时，
y 10
x
2
x
的图象的上方，当
x 0
，刚好相反，故有
10
2
2
x
与
y
x
2
2
。
②
y
1
2
的图象关于
y
轴对称。
x
③通过
y
2
x
，
y
10
x
，
y
1
2
三个函数图象，可以画出任意一个函数
y a
x
（
a
0且a
1
）的
x
示意图，如
y 3
x
的图象，一定位于
y 2
x
和
y 10
x
两个图象的中间，且过点
(0，1)
，从而
y
1
也由
x
3
的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
关于
y
轴的对称性，可得
y
1
3
2、对数：
b
定义：如果
(
aN
a
b log
a
N
0
1)
且a
，那么数
b
就叫做以
a
为底的对数，记作
（
a
是底数，
N
是
真数，
log
a
N
是对数式。）
由于
N a
b
中
N
必须大于
。
0
log
a
N
0
当
N
为零的负数时对数不存在。
（ 1）对数式与指数式的互化。
故
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：
求
log
0.32
5
2
4
分析： 对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成
log
5
2
0.32
x
，再改写为指数式就
4
比较好办。
解： 设
log
0 .32
5
2
4
x
2
则 0.32
x
5
2
4
x
1
即
8
2
8
2525
∴ x
1
2
即 log
5
2
1
0.32
4
2
评述： 由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。
如求
3
x
5
中的
x
，
化为对数式
x
log
3
5
即成。
（ 2）对数恒等式：
由
a
b
N (1) b log
a
N
(2)
将（ 2）代入（ 1）得
a
log
a
N
N
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。
log
1
2
计算：
3
3
1
l og
1
2
lo g
1
2 2
2
1
3
解：原式
3
3
。
3
（ 3）对数的性质：①负
数和零没有对数； ② 1
的对数是零；③底数的
对数等于 1。
（ 4）对数的运算法则：
①
log
a
MN
log
a
M l og
a
N
M ， N
R
②
M
，
log
a
N
log
a
M
log
a
N
M
N
R
③
log
a
N
n
R
④
log
1
n l og
a
N N
a
n
N
log
a
NNR
n
3、对数函数：
定 义 ： 指 数 函 数
y a
x
a
且 a
的反函数
(
0
1)
y log
a
x x
(0,
)
叫做对数函数。
1、对三个对数函数
y
log
2
x， y
l og
1
x，
2
3
y lg x
的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（ 1）图象都位于
y
轴右侧；
（ 1）定义域：
R
+
，值或：
R
；
（ 2）
x
（ 2）图象都过点（
1， 0）；
（ 3）
y l og
2
x
，
y
1
时，
y
0
。即
log
a
1
0
；
lg x
当
x
在
x
轴上方，当
0
方，
y log
1
2
x
x
1
，则
y 0
；
当
0
时，图象在
x
轴下
0
a
1
时 ， 若
x
0
， 则
y
0
1
时，图象
（ 3 ）当
a
1
时，若
x
1
，则
y
0
，若
0
， 若
x
与上述情况刚好相反；
0
x
1
时，则
y
0
；
x， y
lg x
从左向右图象是上
（ 4）
a
1
时，
y
log
a
是增函数；
升，而
y log
1
x
从左向右图象是下降。
时，
y log x
是减函数。
0 a
1
a
2
（ 4）
y log
2
x
对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）
（ 1）所有对数函数的图象都过点
（ 1,0 ），但是
y
：
log
2
x
与
y
lg x
在点（
1,0
）曲线是交叉的， 即当
x
0
时，
y log
2
x
的图象在
y lg x
的图象上方；而
0
故有：
log.
x
1
时，
y
l og
2
x
的图象在
y
lg x
的图象的下方，
l g .
15
；
log
2
01.
l g 01.
。
2
15
log
1
x
的图象关于
x
轴对称。
（ 2）
y
log
2
x
的图象与
y
2
（ 3）通过
y
l og
2
x
，
y
lg x
，
y
log
1
x
三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如
2
作
y log
3
x
的图象， 它一定位于
y log
2
的上方，而位于
y
x
和
y
lg x
两个图象的中间， 且过点（
1,0
），
x 0
时，在
y
lg x
log
2
x
的下方，
0 x
1
时，刚好相反，则对称性，可知
y
log
1
x
的示意图。
3
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
4、对数换底公式：
log
b
N
log
a
N
LN
n
LN
g
log
a
b
其中
⋯
称为 的自然对数
log
e
N (
e
2.71828
)
N
log
10
N 称为常数对数
由换底公式可得：
L
n
N
l g N
l g e
2.303lg N
0.4343
lg N
由换底公式推出一些常用的结论：
4
（ 1）
log
1
a
b
或 l og
a
b· log
b
a 1
l og
b
a
（ 2）
log
m
m
n
b
log
a
b
a
n
（ 3）
log
a
n
b
n
log
a
b
（ 4）
log
a
n
a
m
m
n
5、指数方程与对数方程 *
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法：
名称
题型
解法
基本型
同底数型
a
f
x
b
取以
a
为底的对数
f
x
log
a
b
不同底数型
a
f ( x)
a
( x)
需代换型
取以
a
为底的对数
f
x
x
a
f x
b
x
取同底的对数化为
fx
· l g a
x · lgb
F
a
x
0
换元令
t
a
x
转化为
t
的代数方程
对数方程的题型与解法：
名称
题型
解法
基本题
log
a
f
x b
对数式转化为指数式
f
x
a
b
同底数型
log
a
fx
log
a
x
转化为
f
x
x
（必须验根）
需代换型
F
(log
a
x)
0
换元令
t
log
a
x
转化为代数方程
5
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