2024年4月21日发(作者：)

小学奥数特训营

5-8-1.进制的计算

教学目标

1. 了解进制；

2. 会将十进制数转换成多进制；

3. 会将多进制转换成十进制；

4. 会多进制的混合计算；

5. 能够判断进制.

知识点拨

一、数的进制

1.十进制：

我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的

自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。

2.二进制：

在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计

数单位分别是1、2

1

、2

2

、2

3

、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：

(100110)

2

=1×2

5

+0×2

4

+0×2

3

+1×2

2

+1×2

1

+0×2

0

。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n

0

=1。

3.

k

进制：

一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，

进位制计数单位是

k

0

，

k

1

，

k

2

，

8

0

，

8

1

，

8

2

，

（a

n

a

n1

，共k个数码组成，且“逢k进一”．

（（k1）kk1）

，八进位制的计数单位是．如二进位制的计数单位是

2

0

，

2

1

，

2

2

，

．

a

1

ka

0

a

0

10

0

；

a

0

2

0

；

4.

k

进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式

nn1

a

1

a

0

）

k

a

n

ka

n1

k

十进制表示形式：

Na

n

10

n

a

n1

10

n1



二进制表示形式：

Na

n

2

n

a

n1

2

n1



为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上

k

，表示是

k

进位制的数

（352）（1010）（3145）

如：

8

，

2

，

12

,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．

5.

k

进制的四则混合运算和十进制一样

先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

二、进制间的转换：

小学奥数特训营

一般地，十进制整数化为

k

进制数的方法是：除以

k

取余数，一直除到被除数小于

k

为止，余数由下到上按

从左到右顺序排列即为

k

进制数．反过来，

k

进制数化为十进制数的一般方法是：首先将

k

进制数按

k

的次

幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．

如右图所示:

八进制

十进制 二进制

十六进制

例题精讲

模块一、十进制化成多进制

【例 1】 把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。

【考点】十进制化成多进制 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 一定要强调两点（1）商到0为止，（2）自下而上的顺序写出来

(9865)

10

(11)

2

(9865)

10

(303430)

5

(9865)

10

(23211)

8

【答案】

(9865)

10

(11)

2

,

(9865)

10

(303430)

5

,

(9865)

10

(23211)

8

【巩固】

567(　　　）

8

(　　　）

5

(　　　）

2

；

【考点】十进制化成多进制 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 本题是进制的直接转化：

567(1067）

8

(4232）

5

(1000110111）

2

；

【答案】

567(1067）

8

(4232）

5

(1000110111）

2

模块二、多进制转化成十进制

小学奥数特训营

【例 2】 将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？

【考点】多进制转化成十进制 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 根据二进制与十进制之间的转化方法，

(11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。

【答案】26.75

【例 3】 同学们请将

(11010101)

2

,(4203)

5

,(7236)

8

化为十进制数，看谁算的又快又准。

【考点】多进制转化成十进制 【难度】3星 【题型】解答

(11010101)

2

12

7

12

6

02

5

12

4

02

3

12

2

02

1

12

0

【解析】

128641641213

(4203)

5

45

3

25

2

05

1

35

0

500503553

(7236)

8

78

3

28

2

38

1

68

0

35841282463742

【答案】

213

,

553

,

3742

模块三、多进制转化成多进制

【例 4】 二进制数转化为8进制数是多少？

【考点】多进制转化成多进制 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表：

1 2 3 4

八进制数

0

二进制数

【答案】



25363255



8

【例 5】 将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。

【考点】多进制转化成多进制 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 在转换为高于9进制的数时，遇到大于9的数用字母代替，如：A代表10、B代表11、C代表12、D

代表13……。根据取四合一法，二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B。

【答案】E9.B

【例 6】 某数在三进制中为12121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第

1

位数字是几?

【考点】多进制转化成多进制 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 由于32=9，所以由三进制化为9进制需要取二合一。从后两个两个的取，取至最前边为12，用位值原

理将其化为1×31+2×30=5，所以化为9进制数后第一位为5.

【答案】

5

000 001 010 011 100

5

101

6

110

7

111

从后往前取三合一进行求解，可以得知





2





25363255



8

模块四、多进制混合计算

【例 7】 ①

(101)

2

(1011)

2

(11011)

2



________；

）））

②

(11000111

2

(10101

2

(11

2

(　　　）

2

；

③

(63121)

8

(1247)

8

(16034)

8

(26531)

8

(1744)

8



________；

【考点】多进制混合计算 【难度】4星 【题型】填空

小学奥数特训营

【解析】 ① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制：

(101)

2

(1011)

2

(11011)

2

(5)

10

(11)

10

(27)

10

(28)

10

(11100)

10

；

② 可转化成十进制来计算：

(11000111））））

2

(10101

2

(11

2

(199)

10

(21)

10

(3)

10

(192)

10

(11000000

2

；

如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对

(10101））

2

(11

2

进行除法计算，只是每次借位都是2，

可得

(11000111））））））

2

(10101

2

(11

2

(11000111

2

(111

2

(11000000

2

；

③十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方

法叫“凑整法”，在

n

进制中也有“凑整法”，要凑的就是整

n

．

原式

(63121)

8

[(1247)

8

(26531)

8

][(16034)

8

(1744)

8

]

(63121)

8

(30000)

8

(20000)

8

(13121)

8

；

【答案】(1)、

(11100)

10

，（2）、

(11000000）

（3）、

(13121)

8

2

，

【巩固】 ①在八进制中，

1234456322

________；

②在九进制中，

1443831237120117705766

________．

【考点】多进制混合计算 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 ①原式

1234(456322)12341000234

；

②原式

14438(31235766)(712011770)1443810000200004438

．

【答案】（1）、

234

，（2）、

4438

【例 8】 计算

(3021)

4

(605)

7

(　 　　)

10

；

【解析】 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：

(3021)

4

(605)

7

(34

3

241)

10

(67

2

5)

10

(500)

10

【答案】

(500)

10

模块五、多进制的判断

【例 9】 若

(1030)

n

140

，则

n

________．

【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 若

(1030)

n



140

，则

n

3

3n140

，经试验可得

n5

．

【答案】

5

【例 10】 在几进制中有

413100

？

【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】解答

【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：

由于

(4)

10

(3)

10

(12)

10

，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．

所以说进位制

n

为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．

但是式子中出现了4，所以

n

要比4大，不可能是4，3，2进制．

另外，由于

(4)

10

(13)

10

(52)

10

，因为

52100

，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道

n10

，那么

n

不能是12．

所以，

n

只能是6．

【答案】

6

【例 11】 在几进制中有

12512516324

？

小学奥数特训营

【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】解答

【解析】 注意

(125)

10

(125)

10

(15625)

10

，因为

1562516324

，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，

所以

n10

．

再注意尾数分析，

(5)

10

(5)

10

(25)

10

，而16324的末位为4，于是

25421

进到上一位．

所以说进位制

n

为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．

因为出现了6，所以

n

只能是7．

【答案】

7

【巩固】 算式

15342543214

是几进制数的乘法？

【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】解答

【解析】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为

4520

，但是现在为4，说明进走

20416

，

所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．

因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有

1534253835043214

，所以在原

式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．

【答案】

8