2024年4月15日发(作者：)

matlab中cpml代码

MATLAB是一种面对科学、工程、统计数据分析等领域的高级编程

语言。这种编程语言在数值计算、可视化和编程环境等方面都有着很

高的应用价值。其中，CPML是MATLAB中一种代码实现方法，它通常应

用于数值模拟中，本文将围绕“MATLAB中CPML代码”展开讲述。

1. CPML是什么？

CPML(Conductive Perfectly Matched Layer)是一种计算电磁波

或弹性波时常用的人工边界条件。在一些有限差分方法中，为了能够

处理完整的问题域，需要将问题域扩展一些距离作为计算边界。由于

边界条件与介质的物理性质不一致，从而导致介质反射和折射以及波

的驻留。CPML正是为了避免这些问题而有所发明的。

2. CPML的应用

CPML主要应用在电磁波和弹性波两个领域。在电磁波计算中，

CPML已经广泛应用于各种频谱范围内的计算，如微波、毫米波和红外

等等。在弹性波计算中，CPML也是一个常用的计算边界条件。

3. MATLAB中CPML的实现

MATLAB中编写CPML可以采用不同的方法。下面我们以一种较为

常见的例子为例，展开详细讲述MATLAB中CPML的实现步骤。

3.1 声波方程的形式

给定声速$c$和胶粘剂阻尼系数 $a(x,y)$，声波方程可以用如下

的形式来描述：

$$

frac{partial u}{partial

t}=csqrt{1+i2eta}{scriptstyleleft[-frac{partial

u}{partial x}-frac{partial v}{partial y}right]}-a(x,y)u

$$

其中，$u(x,y,t)$和$v(x,y,t)$分别表示$x$方向和$y$方向的位

移，$c$表示声速，$eta$表示传播方向的相对介电常数，$a(x,y)$表

示$x$和$y$的位置相关的阻尼系数。

3.2 CPML的建立

为了进行CPML近似，可以构造一个虚拟场$v_{cp-}=v+v_f$使其

等于总场$v_{tot}$，但在影响总场之前，对其进行吸收。具体操作为

在边界层中引入一个狄利克雷边界$v=0$，然后在这个边界层中加上耗

散层来吸收反射波，以此来构建CPML。这样我们就在边界处能够完美

地匹配反射。

3.3 CPML的实现步骤

3.3.1 设置模拟区域的参数。

为了实现CPML模拟，需要预先定义模拟区域大小和边角处的宽

度。例如，可以定义模拟区域的长度为20,宽度为15，边角处的宽度

为10，实现代码如下：

nx = 20; % set the number of points in x

ny = 15; % set the number of points in y

PML_width = 10; % set the width of PML layer

pml_x=[PML_width+1, nx-PML_width];

pml_y=[PML_width+1, ny-PML_width];

3.3.2 定义CPML中喇叭形吸收带的大小

CPML中的吸收带是一个反射消失的区域，它的宽度是可变的，可

以通过调整吸收带的大小来调节波的反射边界条件大小。下面代码就

是定义CPML中喇叭形吸收带的大小。

pml_absorb = @(x,pml_width,pml_thickness,pin)

(pin .*(tanh(pml_width*(2-pml_thickness-abs(x))/2)+1))./2;

3.3.3 设置CPML的参数

一旦定义好CPML，就可以设置各参数并开始计算了。具体参数的

设置包括以下几个步骤：

1).设置罚函数系数，对差分方程进行近似，其中

$sigma_{max}(x)$ 和 $sigma_{max}(y)$ 应设置为在该方向上的最

大介质损耗， $kappa$ 设为Helmholtz方程的波数。

dx = 2; % the distance of discrete point to x axis

dy = 2; % the distance of discrete point to y axis

dt = 1; % set the time step

f = 50; % set the frequency

nsteps = 500; % set the number of time steps

sigma_x = @(x,pml_width,pml_thickness,pin) (-3 * log(0.001) *

epsilon * speed_of_sound0)/(2 * pml_width * ((2 -

pml_thickness) * abs(x) + pml_thickness * pml_width ^2 / (2 *

abs(x) + eps)));

kappa_x = @(x,pml_width,pml_thickness)

(sigma_x(x,pml_width,pml_thickness,pin)/epsilon +

1/dt)/speed_of_sound0 ;

sigma_y = @(y,pml_width,pml_thickness,pin) (-3 * log(0.001) *

epsilon * speed_of_sound0)/(2 * pml_width * ((2 -

pml_thickness) * abs(y) + pml_thickness * pml_width ^2 / (2 *

abs(y) + eps)));

kappa_y = @(y,pml_width,pml_thickness)

(sigma_y(y,pml_width,pml_thickness,pin)/epsilon +

1/dt)/speed_of_sound0 ;

2).设置电磁波的传播方向相对介电常数 $eta$。

eta = v1/v0;

3).设置传波方向边长。

dx = 2/sqrt(2);

dy = 2/sqrt(2);

4).设置罚函数 $sigma$ 的极角。

lambda = (sin(pi/1024 - 0.5) + cos(pi/1024 - 0.5)*1j) *

dx;

theta = pi/4 + angle(lambda);

5).设置CPML的各个参数。

theta_degrees = @(theta) theta/pi*180;

K_x = kappa_x;

K_y = kappa_y;

W_pml_x = 100;

W_pml_y = 100;

W_pml_edge = W_pml_x + W_pml_y;

K_xmax = max(K_x);

K_ymax = max(K_y);

W_pml = W_pml_x + W_pml_y + W_pml_edge;

N_pad = 10;

3.3.4 基于设置的参数对声波方程进行求解的过程。

我们要在MATLAB中实现这个方程并对它进行下一步处理。因此，

需要在MATLAB中运用数字差分的技巧，将声波方程转化为一系列更简

单的代数式。这个过程可以通过使用差分算子等方法实现。

差分算子为：

$$

DL_{mm'}=delta_{mm'}-frac{iK_m}{K_m+frac{1}{Delta

t}sigma_m^d}

$$

其中 $delta$ 为克罗内克delta函数。进而，我们可以对声波

方程进行求解。

3.4 CPML的错误和优化

实现CPML过程中可能出现两种常见的错误：数值算法中的不稳

定性和数值分析中的边界误差。为了避免这些错误，可以通过调整

CPML中参数和改进CPML方法等方式进行优化。

优化CPML的方法有很多，如采用变频率距离优化的建模方法，

将界面问题离散化等。优化的方法主要是通过加强模型的复杂度和提

高模型的包容性，从而实现模型在尽可能广泛的场景下的运用价值。

总结

本文主要探讨了MATLAB中CPML的实现和优化，以及MATLABCPML

应用在电磁波和弹性波计算中的优势。通过对声波方程进行差分和求

解等计算，基于CPML可以建立有很高准确性和稳定性的边界条件，从

而得到更加精确的计算结果。虽然在代码实现方面存在挑战，但只要

掌握了各种方法和技巧，就能够很好地实现CPML，并将其应用在更多

的领域中。