2024年4月14日发(作者：)
二、创新实验设计
创新实验一：（7,4）汉明码的编码与译码实现
1、实验目的
实现（7,4）汉明码的编码与译码，通过
这次实验不
但加深了对汉明码编码
和译码原理了解，而且对线性分组码有所了解。
2、实验原理
线性分组码的构造方法比较简单、理论较为成熟，应用比较广泛。汉明码是
一种能够纠正一个错码的效率比较高的线性分组码，下面以（7,4）码为例就汉
明码的编码与译码分别进行介绍：
（1）编码原理
一般来说，若汉明码长为n，信息位数为k，则监督位数r=n-k。若希望用r
个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能位置，则要求
2
r
1n
或
21kr1
(1)
设汉明码（n,k）中k=4，为了纠正一位错码，由式（1）可知，要求监督位
数r≥3。若取r=3,则n=k+r=7。这样就构成了（7,4）码。用
示这7个码元，用
a
6
a
5
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
r
来表
s
1
s
2
s
3
的值表示3个监督关系式中的校正子，则
s
1
s
2
s
3
的值与
错误码元位置的对应关系可以规定如表1所列。
表2.1 校正子和错码位置的关系
s
1
s
2
s
3
错码位置
a
0
a
1
a
2
a
3
s
1
s
2
s
3
错码位置
a
4
a
5
a
6
001 101
010
100
011
110
111
000
无错码
则由表1可得监督关系式：
2
sa
6
a
5
a
3
a
1
3
2
sa
6
a
4
a
3
a
0
4
3
s
1
a
6
a
5
a
4
a
2
在发送端编码时，信息位
监督位
a
2
a
6
a
5
a
4
a
3
的值决定于输入信号，因此它们是随机的。
、
a
1
、
a
0
应根据信息位的取值按监督关系来确定，为使所编的码中无
错码，则
S
1
,S
2
,S
3
等于0，即
a
6
a
5
a
4
a
2
0
a
6
a
5
a
3
a
1
0
aaaa0
430
6
方程组（5）可等效成如下矩阵形式
a
6
a
5
1110100
a
4
0
1101010
a
0
3
1011001
a
2
0
a
1
a
0
(5)
（6）
式(6)可简化为
HA
T
0
T
，H为监督矩阵，则由式(6)可得到监督矩阵
1110100
=[PI] H
1101010
r
1011001
(7)
因为生成矩阵
G=[I
k
Q]=[I
k
P
'
]
，所以由(7)得生成矩阵G如下：
10001
01001
G
I
k
Q
[I
k
P']
00101
00010
11
10
01
11
然后利用信息位和生成矩阵G相乘产生整个码组，即有
A=
a
6
a
5
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
a
6
a
5
a
4
a
3
G
其中A为整个码组矩阵，
a
6
a
5
a
4
a
3
是信息位。
根据上述原理可以得到(7,4)汉明码的整个码组。
(8)
（2）译码与检错、纠错原理
当数字信号编码成汉明码后，由于信道噪声的存在，使得经过信道后的汉明
码会发生差错，使得接收端接收到错码，因此需要多错码进行纠正，以提高通信
系统的抗干扰能力及可靠性。下面分析纠错译码原理。
设B为接收码组，它是一行7列的矩阵，即
B=[b
1
b
2
b
3
b
4
b
5
b
6
b
7
]
，B中可能含
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