2024年4月3日发(作者：)

单位脉冲信号的傅里叶变换

一、引言

傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它在信号

处理、通信系统、图像处理等领域有着广泛的应用。单位脉冲信号是

一种理想化的信号，它在时域上为一个脉冲，在频域上则为常数1。本

文将介绍单位脉冲信号的傅里叶变换。

二、单位脉冲信号的定义和性质

1. 定义

单位脉冲信号，也称为Dirac Delta函数，通常用符号$delta(t)$表示。

它在时域上为一个瞬时的脉冲，满足以下条件：

$$int_{-infty}^{infty}delta(t)dt=1$$

对于任意$t_0$，有：

$$int_{t_0-epsilon}^{t_0+epsilon}delta(t)dt=1$$

其中$epsilon$是一个无穷小量。

2. 性质

（1）时间平移性质：对于任意$t_0$，有：

$$delta(t-t_0)xrightarrow{mathscr{F}}1 e^{-jomega t_0}$$

即在频域上，单位脉冲信号的傅里叶变换为常数1乘以$e^{-jomega

t_0}$。

（2）频率平移性质：对于任意$omega_0$，有：

$$e^{jomega_0t}delta(t)xrightarrow{mathscr{F}}1

e^{jomega_0t}$$

即在频域上，单位脉冲信号的傅里叶变换为常数1乘以

$e^{jomega_0t}$。

（3）尺度变换性质：对于任意$aneq 0$，有：

$$delta(at)xrightarrow{mathscr{F}}frac{1}{|a|}delta(frac{om

ega}{a})$$

即在频域上，单位脉冲信号的傅里叶变换为常数$frac{1}{|a|}$乘以

$delta(frac{omega}{a})$。

三、单位脉冲信号的傅里叶变换

根据傅里叶变换的定义，将单位脉冲信号表示为：

$$delta(t)=lim_{Trightarrow

infty}frac{1}{T}sinc(frac{t}{T})=lim_{Trightarrow

infty}frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}e^{jomega t}domega$$

其中$sinc(x)=frac{sin(pi x)}{pi x}$是一个常用的函数。将上式代入

傅里叶变换的公式中可得：

$$

begin{aligned}

mathscr{F}{delta(t)}&=lim_{Trightarrow

infty}frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}int_{-

infty}^{infty}e^{jomega t}e^{-jomega_0

t}frac{1}{T}sinc(frac{t}{T})dtdomega

&=lim_{Trightarrow infty}frac{1}{2pi T}int_{-

infty}^{infty}sinc(frac{t}{T})dt

&=1

end{aligned}

$$

因此，单位脉冲信号在频域上的傅里叶变换为常数1。

四、总结

本文介绍了单位脉冲信号的定义和性质，以及其在频域上的傅里叶变

换。通过本文的学习，可以对傅里叶变换有更深入的理解，并为后续

学习信号处理、通信系统等领域打下基础。