2024年4月3日发(作者：)

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复数

基础知识

2

1．复数的定义：设i为方程x=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除

等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通

常用C来表示。

2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).

z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那

么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合

之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，

y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又

对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外

设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsin

θ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z

的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，

由勾股定理知|z|=

a

2

b

2

.如果用e表示cosθ+isinθ，则z=re，称为复数的指数形

iθiθ

式。

3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则

z

a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：

2

（1）

z

1

z

2

z

1

z

2

；（2）

z

1

z

2

z

1

z

2

；（3）

zz|z|

；（4）







z

1



z

1



；（5）





z



2



z

2

（6）

|

|z

1

z

2

||z

1

||z

2

|

；

2222

z

1

|z

1

|

；（7）||z

1

|-|z

2

||≤|z

1

±z

2

|≤|z

1

|+|z

2

|；（8）

|

z

2

|z

2

|

1

。

z

|z

1

+z

2

|+|z

1

-z

2

|=2|z

1

|+2|z

2

|；（9）若|z|=1，则

z

4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运

算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形

和三角形法则；（3）按三角形式，若z

1

=r

1

(cosθ

1

+isinθ

1

), z

2

=r

2

(cosθ

2

+isinθ

2

)，则z

1•

•

z

2

=r

1

r

2

[cos(θ

1

+θ

2

)+isin(θ

1

+θ

2

)]；若

z

2

0,

z

1

r

1

[cos(θ

1

-θ

2

)+isin(θ

1

-θ

2

)]，



z

2

r

2

用指数形式记为z

1

z

2

=r

1

r

2

e

i(θ1+θ2)

,

z

1

r

1

i(



1





2

)

e.

z

2

r

2

nn

5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]=r(cosnθ+isinnθ).

6.开方：若

w

r(cosθ+isinθ)，则

w

n

r(cos

k=0,1,2,…,n-1。

7．单位根：若w=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z

1

=

cos

n

n



2k



n

isin



2k



n

)

，

2



2



isin

，

nn

则全部单位根可表示为1,

Z

1

,

Z

1

,,Z

1

2n1

k

.单位根的基本性质有（这里记

Z

k

Z

1

，

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k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z

nq+r

=Z

r

；（2）对任意

mmm

整数m，当n≥2时，有

1Z

1

Z

2

Z

n1

=





0,当n|m,

特别1+Z

1

+Z

2

+…+Z

n-1

=0；（3）



n,当n|m,

2n1

x+x+…+x+1=(x-Z

1

)(x-Z

2

)…(x-Z

n-1

)=(x-Z

1

)(x-

Z

1

)…(x-

Z

1

).

n-1n-2

8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角

主值分别相等。

9．复数z是实数的充要条件是z=

z

;z是纯虚数的充要条件是：z+

z

=0（且z≠0）.

10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。

11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)

是方程的一个根，则

z

=a-bi也是一个根。

22

12．若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax+bx+c=0，当Δ=b-4ac<0时方程的根为

x

1,2



bi

.

2a

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